NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 06/07/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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FRACTIONS UNITAIRES

Fractions dont le numérateur vaut 1 et le dénominateur est un nombre entier.

Inverse d'un nombre entier naturel.

TYPES de fractions unitaires (FU)

Inverse d'un nombre >>> Suite harmonique >>> Somme des inverses >>> Somme de deux inverses (équation somme/produit) >>> Somme des carrés et autres puissances des inverses >>> Somme des puissances successives d'une fraction unitaire >>> Somme des inverses des factorielles >>> Fraction égyptienne >>> Sommes infinies >>> Fractions unitaires de somme 1 >>> Fractions unitaires avec 101 >>> Conjecture d'Erdös-Strauss >>> Énigmes de partage >>>

Propriétés
Multiplication de FU => FU. Addition, soustraction, et division de FU => généralement pas une FU Puissance et racine d'une FU => FU

Toute fraction unitaire est la somme de deux fractions unitaires différentes. Ou encore, la différence entre deux fractions unitaires successives est égale à la fraction unitaire dont le dénominateur est le produit des eux nombres consécutifs.	Exemples 1/3 = 1/4 + 1/12 >>> 1/4 = 1/5 + 1/20
Application: double expression de 1/100 (par exemple): Voici les deux opérations développées: Encadrement décimal de 1/100; voir discussion sur 1 = 0,999 …

Toute fraction unitaire est la somme de trois fractions unitaires différentes.

Exemples 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6 >>> 1/10 = 1/20 + 1/30 + 1/60 1/11 = 1/22 + 1/33 + 1/66 1/12 = 1/24 + 1/36 + 1/72

Voir Fractions

Conjectures
Erdös-Strauss Cette équation diophantienne a toujours une solution. Vérifiée jusqu'à de très grands nombres. Sierpinski Même chose pour numérateur à 5.	Exemple

Voir Conjectures / Fractales de Sierpinski / Erdös

Hyperbole y = 1/x
La courbe y = 1/ x est l'hyperbole. Dessinons les deux points (2, 1/2) et (4, 1/4). Pourquoi la droite joignant ces deux points est si curieuse? Elle passe par les points l'un d'abscisse somme des deux abscisses (2 + 4 = 6), et l'autre d'ordonnée somme des deux ordonnées (1/2 + 1/4 = 3/4).

Explications – Équation de la droite
Droite d'équation Deux points sur la courbe y = 1/x Pente de la droite (delta des "y" divisé par delta des "x"). Ordonnée à l'origine; prendre l'un des points et appliquer l'équation de la droite avec la valeur désormais connue de A pour déterminer B, qui est la valeur de y pour x = 0. Équation de la droite Abscisse à l'origine (y = 0)	y = Ax + B (a, 1/a) et (b, 1/b) B = y – Ax

English corner
Unit fraction 1/ n: rational number written as a fraction where the numerator is one and the denominator is a positive integer. A unit fraction is therefore the reciprocal of a positive integer.

Distances entre fractions voisines			haut
Expression d'une fraction en fonction de la suivante. Comment calculer ces fractions ? On exprime la différence dans le tableau suivant.
Seules fractions ? Quelles sont les sommes de fractions exprimant une fraction unitaire donnée ?
Valeurs successives de x, y et z en fonction de n La première ligne redonne les valeurs vues ci-dessus pour la fraction suivante. Lecture pour n = 2

Voir Nombre 0,5 en fractions

Suite	Comparaison des fractions usuelles Fractions – Glossaire et index
Voir	Fraction avec 0,65 Fractions dont la somme est égale à 1 Progression géométrique Quotient = différence Sommes d'inverses Tables des fractions égyptiennes Théorie des nombres – Index
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