NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Fraction

 

 

INDEX

 

Fractions

 

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Unitaire

Continues

Égyptiennes

Comparaison

Règle de trois

Somme 1

Glouton

Construction

Illicites

Inverse

Multiplication

Identités

De chiffres

 

Sommaire de cette page

>>> Types

>>> Propriétés

>>> Conjecture d'Erdös-Strauss

>>> Hyperbole y = 1/x

>>> Explications – Équation de la droite

>>> Anglais

>>> Distances entre fractions voisines

 

 

 

 

FRACTIONS UNITAIRES

 

Fractions dont le numérateur vaut 1 et le dénominateur est un nombre entier.

 

Inverse d'un nombre entier naturel.

 

 

 

 

TYPES de fractions unitaires (FU)

 

*      Inverse d'un nombre >>>

*       Suite harmonique >>>

 

*       Somme des inverses  >>>

 

*       Somme de deux inverses (équation somme/produit) >>>

*       Somme des carrés et autres puissances des inverses >>>

 

*       Somme des puissances successives d'une fraction unitaire >>>

 

*       Somme des inverses des factorielles >>>

 

*      Fraction égyptienne >>>

 

*      Sommes infinies >>>

 

*      Fractions unitaires de somme 1 >>>

 

*      Fractions unitaires avec 101 >>>

 

*      Conjecture d'Erdös-Strauss >>>

 

*      Énigmes de partage >>>

 

 

 

 

Propriétés

 

 

*      Multiplication de FU => FU.


*      Addition,
soustraction, et
division de FU
=> généralement pas une FU

 

 

 

 

 

*      Puissance et racine d'une FU
=> FU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*      Toute fraction unitaire est la somme de deux fractions unitaires différentes.

Ou encore, la différence entre deux fractions unitaires successives est égale à la fraction unitaire dont le dénominateur est le produit des eux nombres consécutifs.

 

 

 

Exemples

1/3 = 1/4 + 1/12                     >>>

1/4 = 1/5 + 1/20

 

 

Application: double expression de 1/100 (par exemple):

 

 

Voici les deux opérations développées:

 

*      Encadrement décimal de 1/100; voir discussion sur 1 = 0,999 …

 

 

*      Toute fraction unitaire est la somme de trois fractions unitaires différentes.

 

 

Exemples

1 = 1/2 + 1/3 + 1/6                     >>>

1/10 = 1/20 + 1/30 + 1/60

1/11 = 1/22 + 1/33 + 1/66

1/12 = 1/24 + 1/36 + 1/72

Voir  Fractions

 

 

Conjectures

 

Erdös-Strauss

 

*      Cette équation diophantienne a toujours une solution.

*      Vérifiée jusqu'à de très grands nombres.

 

Sierpinski

 

*      Même chose pour numérateur à 5.

 

 

 

Exemple

 

 

Voir Conjectures / Fractales de Sierpinski / Erdös

 

 

Hyperbole y = 1/x

 

*      La courbe y = 1/ x est l'hyperbole.

Dessinons les deux points (2, 1/2) et (4, 1/4).

 

 

*      Pourquoi la droite joignant ces deux points est si curieuse?

Elle passe par les points

*           l'un d'abscisse somme des deux abscisses (2 + 4 = 6), et

*           l'autre d'ordonnée somme des deux ordonnées (1/2 + 1/4 = 3/4).

 

 

 

 

Explications – Équation de la droite

 

*      Droite d'équation

 

*      Deux points sur la courbe y = 1/x

 

*      Pente de la droite (delta des "y" divisé par delta des "x").

 

*      Ordonnée à l'origine; prendre l'un des points et appliquer l'équation de la droite avec la valeur désormais connue de A pour déterminer B, qui est la valeur de y pour x = 0.

 

 

*      Équation de la droite

 

 

*      Abscisse à l'origine (y = 0)

 

 

y = Ax + B

 

(a, 1/a) et (b, 1/b)

 

 

B = y – Ax

 

 

 

 

 

 

English corner

 

*      Unit fraction 1/ n: rational number written as a fraction where the numerator is one and the denominator is a positive integer.

*      A unit fraction is therefore the reciprocal of a positive integer.

 

 

 

Distances entre fractions voisines

haut

 

Expression d'une fraction en fonction de la suivante.

Comment calculer ces fractions ? On exprime la différence dans le tableau suivant.

 

 

Seules fractions ?

Quelles sont les sommes de fractions exprimant une fraction unitaire donnée ?

 

 

Valeurs successives
de x, y et z
en fonction de n

 

La première ligne redonne les valeurs vues ci-dessus pour la fraction suivante.

 

Lecture pour n = 2

 

 

Voir Nombre 0,5 en fractions

 

 

 

 

 

 

Suite

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*    FractionsGlossaire et index

Voir

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*    Fractions dont la somme est égale à 1

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