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INDEX Objets fractals	Sommaire de cette page >>> Triangle de Sierpinski >>> Tapis de Sierpinski >>> Carpette de Sierpinski >>> Éponge de Sierpinski ou de Menger >>> Surface d'échange >>> Fractale lacunaire

FRACTALES de Sierpinski

Waclaw Sierpinski (1882-1969) – Mathématicien polonais.
Quelques exemples de ses inventions.

TRIANGLE de SIERPINSKI
Triangle (ou napperon) de Sierpinski (Sierpinki gasket). Aussi connu sous le nom de joint de culasse (nom donné par Mandelbrot). Dimension fractale: log(3) / log(2) =1,5850. La même figure est obtenue en coloriant le triangle de Pascal. Quantité de triangles dans un triangle de Sierpinski: 1, 5, 17, 53, 161 … Triangle de Sierpinski à 7 niveaux

Programme pour copie dans l'éditeur import turtle T = turtle.Turtle() ; T.speed(0) T.hideturtle() def Sier (n,L): if n == 0: for i in range (0,3): T.fd(L) T.left(120) if n > 0: T.pencolor(co[0]) Sier(n-1,L/2) T.fd(L/2) T.pencolor(co[1]) Sier(n-1,L/2) T.bk(L/2) T.left(60) T.fd(L/2) T.right(60) T.pencolor(co[3]) Sier(n-1,L/2) T.left(60) T.bk(L/2) T.right(60) T.penup(); T.goto(-400,-300) T.pendown() ; T.width(2) co = ["red", "green", "purple", "blue"] T.pencolor(co[0]) Sier(4,600)

Programme Python Importation des logiciels de commande de la tortue. La tortue est nommée T pour simplifier. Elle est cachée et mis à sa vitesse max. La courbe de Sierpinski est définie par la quantité d'itérations (n) et la longueur de la branche principale (L). Lorsque n = 0, on construit le triangle. Sinon, on examine les niveaux de récursivité: la courbe est fractale et sa construction fait appel à elle-même pour le niveau inférieur (n – 1) et avec une longueur moitié (L / 2). La définition de la couleur fait appel à la palette co définie plus bas. Le programme principal met la tortue en position de départ et commande l'écriture (pendown). La largeur du tracé est fixée à 2. Le tracé de la courbe est demandé pour 4 itérations, et une largeur de 60 pixels. Le tracé ci-dessus a été réalisé avec Sier(7,600).

Allure du programme dans l'éditeur

Voir Programmation Python / Programmation – Index

Carpette de SIERPINSKI
Carpette de Sierpinski (Sierpinski Carpet). Dimension fractale: log(16) / log(5) = 1,7227.

TAPIS de SIERPINSKI (carpette)
Générateur 9 carrés moins le carré central = 8 de côté 1/3 Dimension log 8 / log 3 = 1,89

ÉPONGE de MENGER – SIERPINSKI
L'extension en volume du tapis de Sierpinski forme l'éponge de Manger Voir page dédiée >>>

Autres exemples de fractales en surface et volume

SURFACE D'ÉCHANGE
Croissance de la surface sans augmentation du volume Cas du poumon dont la surface d'échange dépasse 100 m² On estime à environ 20 (en base 2) le niveau de fractalisation des poumons de la trachée aux alvéoles.

FRACTALE LACUNAIRE

Générateur	La surface lacunaire du centre est pliée pour donner le volume du centre formé de 65 carrés de côté 1/5
Aire	Infinie
Volume	Limité
Dimension	log 65 / log 5 = 2,593692642

Suite	Fractales de Mandelbrot et Julia Index des objets fractals Sierpinski Conjecture de Sierpinski
Voir	Chaos Géométrie Jeux Lunules en fractales Programmation – Index Transformation du Boulanger Vie et troisième dimension

Sites

Sites sur les fractals Fractal Geometry