NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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OBJETS FRACTALS

 

Débutants

Fractales

Objets de SIERPINSKI

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Objets fractals

 

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle  de Sierpinski

>>> Tapis       de Sierpinski

>>> Carpette  de Sierpinski

>>> Éponge   de Sierpinski ou de Menger

>>> Surface d'échange 

>>> Fractale lacunaire

 

 

 

FRACTALES de Sierpinski

  

 

Waclaw Sierpinski (1882-1969) – Mathématicien polonais.
Quelques exemples de ses inventions.

 

  

TRIANGLE de SIERPINSKI

 

 

*         Triangle (ou napperon) de Sierpinski (Sierpinki gasket). Aussi connu sous le nom de joint de culasse (nom donné par Mandelbrot).

*         Dimension fractale: log(3) / log(2) =1,5850.

*         La même figure est obtenue en coloriant le triangle de Pascal.

*         Quantité de triangles dans un triangle de Sierpinski: 1, 5, 17, 53, 161 …

 

Triangle de Sierpinski à 7 niveaux

 

 

Programme pour copie dans l'éditeur

import turtle

T = turtle.Turtle() ; T.speed(0)

T.hideturtle()

 

def Sier (n,L):

    if n == 0:

        for i in range (0,3):

            T.fd(L)

            T.left(120)

    if n > 0:

        T.pencolor(co[0])

        Sier(n-1,L/2)

        T.fd(L/2)

        T.pencolor(co[1])

        Sier(n-1,L/2)

        T.bk(L/2)

        T.left(60)

        T.fd(L/2)

        T.right(60)

        T.pencolor(co[3])

        Sier(n-1,L/2)

        T.left(60)

        T.bk(L/2)

        T.right(60)

 

T.penup(); T.goto(-400,-300)

T.pendown() ; T.width(2)

co = ["red", "green", "purple", "blue"]

T.pencolor(co[0])

Sier(4,600)

 

 

Programme Python

 

Importation des logiciels de commande de la tortue. La tortue est nommée T pour simplifier. Elle est cachée et mis à sa vitesse max.

 

La courbe de Sierpinski est définie par la quantité d'itérations (n) et la longueur de la branche principale (L).

 

Lorsque n = 0, on construit le triangle.

Sinon, on examine les niveaux de récursivité: la courbe est fractale et sa construction fait appel à elle-même pour le niveau inférieur (n – 1) et avec une longueur moitié (L / 2).

La définition de la couleur fait appel à la palette co définie plus bas.

 

Le programme principal met la tortue en position de départ et commande l'écriture (pendown). La largeur du tracé est fixée à 2.

Le tracé de la courbe est demandé pour 4 itérations, et une largeur  de 60 pixels.

 

Le tracé ci-dessus a été réalisé avec Sier(7,600).

Allure du programme dans l'éditeur

Voir Programmation Python / ProgrammationIndex

 

 

 

Carpette de SIERPINSKI

 

Sierpi

 

*         Carpette de Sierpinski (Sierpinski Carpet).

*         Dimension fractale: log(16) / log(5) = 1,7227.

 

 

 

TAPIS de SIERPINSKI (carpette)

 

 

Générateur            9 carrés moins le carré central = 8 de côté 1/3

Dimension            log 8 / log 3 = 1,89 

 

 

Sierpinki carpet.gif

 

  

ÉPONGE de MENGER – SIERPINSKI

 

*         L'extension en volume du tapis de Sierpinski forme l'éponge de Manger

Voir page dédiée >>>

 

 

  

 

Bellydancing Bellydance Bellydancers

 

 

Autres exemples de fractales en surface et volume

 

SURFACE D'ÉCHANGE

 

  

 

 

 

*         Croissance de la surface sans augmentation du volume

*         Cas du poumon dont la surface d'échange dépasse 100 m²

*         On estime à environ 20 (en base 2) le niveau de fractalisation des poumons de la trachée aux alvéoles.

 

 

 

 

 

FRACTALE LACUNAIRE

 

Image827

 

  

Générateur

La surface lacunaire du centre est pliée pour donner le volume du centre formé de 65 carrés de côté 1/5

Aire

Infinie

Volume

Limité

Dimension

log 65 / log 5 = 2,593692642

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Fractales de Mandelbrot et Julia

*    Index des objets fractals

*    Sierpinski

*    Conjecture de Sierpinski

Voir

*    Chaos

*    Géométrie

*    Jeux

*      Lunules en fractales

*    ProgrammationIndex

*      Transformation du Boulanger

*      Vie et troisième dimension

 

Sites

*      Sites sur les fractals

*      Fractal Geometry