Hyperbole équilatère

Édition du: 27/02/2021

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Hyperbole standard

L'hyperbole est une courbe plane de la famille des coniques.

Elle possède deux asymptotes.
Si elles sont perpendiculaires, l'hyperbole est équilatère ou rectangulaire.

Équation standard de l'hyperbole:

Changer le signe moins en signe plus et on obtient une ellipse.

Étymologie: Le mot hyperbole vient du latin hyperbole, du grec: hyperbolë, excès exagération; composé de hyper, au-delà et ballô, jeter, lancer

Sommaire de cette page

>>> Formulaire de l'hyperbole standard

>>> Approche

>>> Géométrie – Définition de l'hyperbole

>>> Paramètres de l'hyperbole centrée

>>> Paramètres de l'hyperbole non-centrée

>>> Dessin rapide d'une hyperbole

>>> Calcul de l'équation de l'hyperbole

>>> Établissement de l'équation

>>> Propriétés – Trigonométries

>>> Directrices et excentricité

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HYPERBOL: chance démesurément insolente – Pascal Légitimus

Voir Pensées et Humour

Formulaire de l'hyperbole standard

Approche		haut
Équation de cette hyperbole avec a = b = 1: Dimensions du carré vert en pointillé: Lx = 2a = 2 et Ly = 2b = 2
Équation de cette hyperbole avec a = 2 et b = 1: Dimensions du rectangle vert en pointillé: Lx = 2a = 4 et Ly = 2b = 2 Équation des asymptotes (vertes):

Géométrie – Définition de l'hyperbole

haut

Hyperbole: une courbe plane composée de deux branches disjointes et symétriques.

Elle est caractérisée par:

deux foyers tels que, pour tout point M, la différence distance aux foyers, est constante;

deux axes de symétrie dont l'un est l'axe focal;

deux asymptotes communes aux deux branches;

deux sommets et deux co-sommets (qui sont les sommets de la même hyperbole après rotation de 90°).

Latus rectum: corde au foyer et perpendiculaire à l'axe focal.

Paramètres de l'hyperbole centrée

haut

Équation de l'hyperbole

Coordonnées du centre: (0, 0)

Coordonnées des sommets: (-a, 0) et (a, 0)

Coordonnées des foyers: (-c, 0) et (c, 0)

Caractérisation de l'hyperbole

or, si M est en S: d1 = c + a et d2 = c – a, soit d1 – d2 = 2a. La constante est égale à 2a.

Distance entre foyers telle que:

Équations des asymptotes

Angle entre asymptotes

Calcul de la position du foyer – Exemple

Valeur de b avec a et c

Paramètres de l'hyperbole non-centrée

haut

Équation de l'hyperbole

Centre: (u, v)

Sommets: (u – a, v) et (u + a, v)

Foyers: (u – c, v) et (u + c, v)

Caractérisation de l'hyperbole

Distance entre foyers telle que:

Équations des asymptotes

Angle entre asymptotes

L'hyperbole est simplement translatée de u = 2 en horizontal et de v = 3 en vertical.

Dessin rapide d'une hyperbole non-centrée

Exemple

Centre (2, -1)

a = 1 et b = 2

Construction

Positionner le centre (rouge) en (2, -1)

Positionner les sommets (verts) à une distance horizontale de a = 1 du centre.

Dessiner le rectangle (pointillé vert) de dimension (2a = 2 et 2b = 2 x2 = 4), centré sur le centre.

Tracer les droites diagonales du rectangle (vertes).

Ajuster les courbes rouges pour qu'elles passent par les sommets et qu'elles s'approchent progressivement des asymptotes.

Comment construire une hyperbole approchée, mais bien positionnée

Calcul de l'équation de l'hyperbole – Exemples		haut
Exemple 1	Avec sommets en (0, -2) et (6, -2) et foyers en (-2, -2) et (8, -2)
Le centre subit la translation
Distance entre sommets
Avec coordonnées des foyers Résolution du système d'équations
Calcul de b
Équation de l'hyperbole
Graphe Angle entre asymptotes, embrassant l'hyperbole: 2 arctan (4/3) = 106,26°

Exemple 2	Tour de refroidissement d'une centrale électrique. Unités en mètres.
Centre des axes	Milieu de la flèche verte (10) qui est la distance la plus courte entre les deux branches.
Distance entre sommets:
Point de l'hyperbole	M (7,5 ; 30)
Dans l'équation
Calcul de b
Équation de l'hyperbole

Établissement de l'équation		haut
Distance au foyer
Différence constante, égale à 2a
Mise au carré après passage d'un radical à droite
Radical isolé et développement des carrés; puis division par 4
Élévation au carré
Variable x d'un seul côté
Factorisation
Or b² = c² – a²
Division par a²b²

Propriétés – Trigonométries

haut

Analogie Cercle / Hyperbole

Cercle de rayon 1 et hyperbole avec a = 1:

Avec un angle alpha dans les deux cas:

L'aire du secteur vaut alpha/2.

Du cercle, on engendre la trigonométrie circulaire (sinus et cosinus); et

De l'hyperbole, on engendre la trigonométrie hyperbolique (sinus et cosinus hyperboliques).

Directrices et excentricité

haut

L'hyperbole peut aussi être définie comme le lieu des points tels que:

Ces deux rapports sont constants et égaux à e, l'excentricité.

Les deux droites bleues sont les directrices qui ont pour équations:

La bissectrice de l'angle F₁MF₂ (droite en petits pointillés) est aussi la tangente en M à l'hyperbole.

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Sites	How to construct a hyperbola – GeoGebra – Irina Boyadzhiev – Animation Hyperbola – Math is Fun Hyperboloïde parabolique – Mathcurve – Robert Ferréol
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