NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 15/10/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Racine numérique et Nombres premiers			Racine numérique des puissances
			Sommaire de cette page >>> Approche >>> Racine numérique >>> Premiers mod 90 et racines numériques >>> Listes jusqu'à 1000 >>> Bilan

Racines numériques

& Nombres premiers

La suite des nombres entiers non divisibles par (2, 3 ou 5) possède une propriété octodécimale (cycle 18) en les considérant en modulo 90 et en les caractérisant par leur racine numérique additive.

Approche
Dans la liste des nombres entiers, on se sépare des nombres composés divisibles par 2, 3 et 5. Restent les nombres premiers et les nombres composés divisibles par k > 5. Le premier nombre composé qui subsiste est 49 = 7 x 7 (normal ! Les multiples de 7 précédents sont divisibles par (2,3 ou 4).		Divisibilité des nombres par 2, 3 ou 5
ND235	Tous les non-divisibles par 2, 3 ou 5; avec les nombres composés en rouge 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119, 121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 187, 191, 193, 197, 199, … Nombres composés avec leurs facteurs 49 = 7x7; 77 = 7x11; 91 = 7x13; 119 = 7x17; 121 = 11²; 133 = 7x19; 143 = 11x13; 161 = 7x23; 169 = 13²; 187 = 11x 17, …

Racine numérique
La racine numérique des nombres premiers n'est jamais 3, 6 ou 9, mais peut prendre toutes les autres valeurs: (1, 2, 4, 5, 7, 8). La liste ci-contre indique la racine numérique des plus petits nombres premiers dans l'ordre. Mais, pas de répétition cyclique.	2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, 4, 1, 5, 7, 2, 8, 5, 7, 4, 8, 1, 7, 2, 8, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 1, 5, 2, 4, 5, 7, 4, 1, 5, 2, 8, 1, 2, 4, 8, 1, 4, 7, 2, 4, 8, 5, 7, 8, 5, 2, 8, 1, 7, 2, 4, 5, 1, 5, 7, 2, 7, 4, 5, 7, 2, 8, 7, 4, 1, 5, 2, 1, 5, 4, 5, 7, 8, 1, 7, 2, 8, 7, 2, 4, 8, 2, 1, 5, 4, 8, 5, 8, 1, 1, 7, 8, 5,

Premiers mod 90 et racines numériques

Liste des résidus mod 90 des premiers successifs (hors 2, 3 et 5)

En bleu, une ligne d'en-tête donnant la racine numérique des nombres premiers présents dans la colonne.

Les lignes suivantes indiquent le résidu mod 90 des nombres premiers dans l'ordre jusqu'à 1163. Retour à la ligne pour chaque résidu 89 mod 90.

En rouge, les nombres composés qui subsistent.

1	7	2	4	8	1	5	2	4	1	5	7	2	4	8	5	7	4	8	1	5	7	2	8
	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	49	53	59	61	67	71	73		79	83	89
	7	11	13	17	19	23			37	41		47	49		59	61	67		73	77		83	89
1		11	13	17	19			31			43	47	49	53	59	61		71		77		83	89
1	7	11	13			23			37	41	43	47				61	67			77	79	83	89
	7	13			19	23	29		37	41			49		59	61		71	73		79	83	89
	7	11	13	17			29		37	41			49	53	59			71	73
1	7			17		23	29	31	37			47		53	59	61	67		73	77	79
1		11	13	17		23	29	31			43	47		53		61		71			79		89
	7		13		19	23		31	37	41			49	53			67			77			89
1		11	13	17	19	29					43	47	49	53			67	71	73	77
	7	11			19	29	37			41		47		53			67	71		77		83
1	7				19	23	29	31		41	43		49		59	61		71	73		79
	7	11	13	17	23	29			37		43		49					71	73			83

En jaune, les colonnes avec racines numériques égales à 1, ce qui constitue la suite (1, 19, 37, 73), qui, par effet du modulo 90, se répète pour les nombres supérieurs à 89.

Avec ce principe, on crée six classes de nombres selon la racine numérique. Voir ci-dessous.

Listes jusqu'à 1000
RN1	Nombres {1, 19, 37, 73} + 90k 1, 19, 37, 73, 91, 109, 127, 163, 181, 199, 217, 253, 271, 289, 307, 343, 361, 379, 397, 433, 451, 469, 487, 523, 541, 559, 577, 613, 631, 649, 667, 703, 721, 739, 757, 793, 811, 829, 847, 883, 901, 919, 937, 973, 991, 1009, … Y figurent tous les nombres premiers dont la racine numérique est 1.
RN2	Nombres {11, 29, 47, 83} + 90k 11, 29, 47, 83, 101, 119, 137, 173, 191, 209, 227, 263, 281, 299, 317, 353, 371, 389, 407, 443, 461, 479, 497, 533, 551, 569, 587, 623, 641, 659, 677, 713, 731, 749, 767, 803, 821, 839, 857, 893, 911, 929, 947, 983, 1001, 1019, 1037, 1073, 1091, 1109, … Y figurent tous les nombres premiers dont la racine numérique est 2.
RN4	Nombres {13, 31, 49, 67} + 90k 13, 31, 49, 67, 103, 121, 139, 157, 193, 211, 229, 247, 283, 301, 319, 337, 373, 391, 409, 427, 463, 481, 499, 517, 553, 571, 589, 607, 643, 661, 679, 697, 733, 751, 769, 787, 823, 841, 859, 877, 913, 931, 949, 967, 1003, … Y figurent tous les nombres premiers dont la racine numérique est 4.
RN5	Nombres {23, 41, 59, 77} + 90k 23, 41, 59, 77, 113, 131, 149, 167, 203, 221, 239, 257, 293, 311, 329, 347, 383, 401, 419, 437, 473, 491, 509, 527, 563, 581, 599, 617, 653, 671, 689, 707, 743, 761, 779, 797, 833, 851, 869, 887, 923, 941, 959, 977, 1013,… Y figurent tous les nombres premiers dont la racine numérique est 5.
RN7	Nombres {7, 43, 61, 79, 97} + 90k 7, 43, 61, 79, 97, 133, 151, 169, 187, 223, 241, 259, 277, 313, 331, 349, 367, 403, 421, 439, 457, 493, 511, 529, 547, 583, 601, 619, 637, 673, 691, 709, 727, 763, 781, 799, 817, 853, 871, 889, 907, 943, 961, 979, 997, 1033,… Y figurent tous les nombres premiers dont la racine numérique est 7.
RN8	Nombres {17, 53, 71, 89} + 90k 17, 53, 71, 89, 107, 143, 161, 179, 197, 233, 251, 269, 287, 323, 341, 359, 377, 413, 431, 449, 467, 503, 521, 539, 557, 593, 611, 629, 647, 683, 701, 719, 737, 773, 791, 809, 827, 863, 881, 899, 917, 953, 971, 989, 1007, … Y figurent tous les nombres premiers dont la racine numérique est 8.
Toutes	La réunion de ces huit suites constitue la suite de tous les nombres non divisibles par 2, 3 ou 5. Y figurent tous les nombres premiers supérieurs à 5. Accompagnés de nombres composés.
Propriété	Les génératrices des suites (en jaune) sont toutes formées de nombres en progression pseudo-arithmétique de raison 18. Pseudo, car on trouve une fois 2 x 18 = 36.

Bilan

Soit l'ensemble E des nombres non-divisibles par 2, 3 et 5.

Il comprend tous les nombres premiers et tous les nombres composés multiples des nombres premiers supérieurs à 5.

Cet ensemble E, examiné en mod 90, peut être scindé en six sous-ensembles, chacun caractérisé par une racine numérique (RN) parmi (1, 2, 4, 5, 7 et 8).

Les quatre ou cinq nombres en tête de file (jaunes) se retrouvent dans les tranches suivantes augmentés de 90.

Propriété singulière: tous ces nombres considérés par sous-ensembles sont en progression (pseudo) arithmétique de raison 18 sauf une fois avec 36.

Soit une sorte d'organisation octodécimale englobant tous les nombres premiers au milieu de certains nombres composés.

Page créée suite à la lecture d'un essai sur ce thème, développé par Gary Croft

Qui en déduit un crible spiral des nombres premiers (prime spiral sieve)

Voir	Racines numériques – Propriétés, énigmes Preuve par neuf Partition Somme des chiffres Procédés itératifs (Kaprekar …)
Aussi	Addition Calcul mental Divisibilité Multiplication Nombres géométriques Nombres premiers – Index Représentation des nombres
DicoNombre	Nombre 18 Nombre 30 Nombre 90
Sites	OEIS – Gary Croft – Numbers not divisible by 2, 3 or 5 with digital root k The Prime Spiral Sieve – Gary Croft
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/RNprem.htm