NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/03/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Bases de numération

Plus grands nombres avec n chiffres

En base 10, le plus grand nombre à deux chiffres est 99. D'une manière générale, quels sont les plus grands nombres en base b formés par n chiffres.

Approche

Les plus grands nombres à n chiffres en décimal sont évidents: 9, 99, 999, 9999, … La base étant b = 10, les chiffres impliqués dans la formation du maximum sont (n-1) On écrit: L'indice 10 rappelle la base de numération Le trait en haut indique que les chiffres sont posés l'un à côté de l'autre (concaténés); ce n'est pas une multiplication. On se souvient que 99 est une écriture abrégée de: 99 = 9 x 10 + 9 ou plus exactement, en montrant l'utilisation de la base: 99 = 9 x 10^1 + 9 x 10^0 Ce qui nous amène à une remarque utile pour la suite: 99 = 9 (10 + 1) = 9 x 11 Ou encore: 99 = (10 – 1) (10 + 1) = 10² – 1

Voir Identité remarquable: (a-b)(a+b) = a² - b²

Bases quelconques
En base 8, nous aurions: Conversion de ces nombres en décimal: 778 = 7 x 8^1 + 7 x 8^0 = 56 + 7 = 6310 7778 = 7 x 8^2 + 7 x 8^1 + 7 x 8^0 = 448 + 56 + 7 = 51110 En base 16, avec les conventions habituelles (15 est noté F), nous aurions: Conversion de ces nombres en décimal: FF16 = 15 x 16^1 + 15 x 16^0 = 240 + 15 = 25510 FFF16 = 15 x 16^2 + 15 x 16^1 + 15 x 16^0 = 3 840 + 240 + 15 = 4 09510

Recherche de la base

Nous savons que 63 exprimé en décimal est le plus grand nombre à deux chiffres den base b. Retrouvez la base b. Nous connaissons la réponse car ce cas est l'un des exemples ci-dessus: b = 8. Approchons la formalisation de la recherche en s'appuyant sur l'exemple numérique 778 = 7 x 8^1 + 7 x 8^0 = 56 + 7 = 6310 778 = 7 x 8 + 7 x 1 778 = 7 (8 + 1) 778 = (8 – 1) (8 + 1) = 8² – 1 = 6310 Avec deux chiffres, se dégage une propriété intéressante (déjà remarquée avec 99): Le plus grand nombre à deux chiffres est égal au carré de la base moins 1 en décimal.

Exemple de recherche de base
Recherchez la base pour laquelle le plus grand nombre à deux chiffres vaut 224 en décimal. D'après notre remarque ci-dessus: b² – 1 = 224 b² = 225 b = 15 Mais, reprenons la formulation exacte.
Notre expression
Son développement en base 10
Or	b^1 = b et b^0 = 1
En remplaçant
Identité remarquable
Application numérique	b² – 1 = 224 b = 15
Expression de ce résultat

Plus de deux chiffres
Que devient notre belle propriété avec plus de deux chiffres?
Avec trois chiffres
Son développement en base 10
Mise en facteur commun
Et au-delà …

Tableau de valeurs typiques
Exemples de lecture: 77 est le plus grand nombre à deux chiffres en base 8; il vaut 63 en décimal. BBBB est le plus grand nombre à quatre chiffre en base 12; il vaut 20 735 en base 10.
Base	2	8	10	12	16
1	1 (1)	7 (7)	9	B (11)	F (15)
2	11 (3)	77 (63)	99	BB (143)	FF (255)
3	111 (7)	777 (511)	999	BBB (1 727)	FFF (4 095)
4	1111 (15)	7777 (4 095)	9 999	BBBB (20 735)	FFFF (65 535)
5	11111 (31)	77777 (32 767)	99 999	BBBBB (248 831)	FFFFF (1 048 575)

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Voir	Binaire Chiffres – Glossaire Tables de calculs en base 2 à 16 Romain Étymologie
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