identités de Ramanujan

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IDENTITÉS & FRACTIONS CONTINUES

de ROGERS-RAMANUJAN

Deux identités expliquées qui conduisent aux fractions continues spéciales de Rogers et de Ramanujan.

Cette fraction continue n'est généralement pas d'un abord facile. La démarche de Gaurav Bhatnagar, mathématicien indien, m'a semblé simple et logique, même si la fin du raisonnement est d'un niveau élevé. Laissez-vous guider pour découvrir cette magnifique œuvre.

Historique

En 1913, Ramanujan, alors un employé indien inconnu, envoie ses lettres à Hardy, un mathématicien britannique, qui les trouva époustouflantes: "elles me renversèrent complètement; Pour le moins, je n'avais jamais vu quelque chose de cette sorte avant (they defeat me completely; I had never seen anything in the least like them before)".

Parmi les beautés trouvées, les identités, objet de cette page, circulèrent parmi les mathématiciens, mais personne, Ramanujan compris, n'était capable de les démontrer.

Un jour, lisant de vielle coupure de journaux, Ramanujan tombe sur un article édité en 1894 par un mathématicien anglais nommé Leonard Rogers (1862-1933). En s'associant, les deux mathématiciens éditèrent la démonstration de ces identités en 1919.

En 1917, Schur les recouvre.

Rappel sur les séries géométriques
Série géométrique pour	Exemple: avec q = ½, G = 2 Le calcul jusqu'à q⁶donne 1,9843….
Prenons la série finie:
Démonstration en multipliant par (1 – q).
On peut aussi l'écrire:
Limite pour n infini, Avec qⁿ tendant vers 0:

Identités de Ramanujan

Identités n°1 – Explication et vérification
Forme générique Les termes à gauche de l'égalité sont du type:
Ceux de droite sont de deux types:
Vérification de l'égalité Il est possible de calculer ces termes en remplaçant chaque fraction par la somme infinie équivalente.
En se limitant à q¹⁰ et aux expressions telles qu'indiquées on trouve pour les premiers termes suivants. (Calculs exécutés avec le logiciel Maple)	À gauche À droite

Faisons le point

Nous venons d'aborder deux identités qui semblent bien élégantes, certes; mais à quoi peuvent-elles bien servir. Nous allons les retrouver à la fin de notre exploration des fractions continues spéciales introduites par Rogers et par Ramanujan.

La fraction continue de Rogers-Ramanujan
Fraction continue classiques Fraction continue du nombre d'or:
Calcul des réduites (exemple). Voyez comme il est facile de passer d'une réduite à la suivante.
Réduites successives: on y retrouve les nombres de Fibonacci. Elles conduisent à la formule de récurrence et à définition des nombres de Fibonacci.
Fraction continue généralisée Introduction d'un facteur q au numérateur avec une puissance correspondant à son étage.
Calcul des réduites: Note: pas facile de passer directement d'une réduite à la suivante comme pour les fractions continues classiques. Peut-on trouver un truc pour y arriver tout de même?
Fraction continue de Rogers-Ramanujan Introduction d'un paramètre z.
La récurrence est alors possible, comme nous allons le voir.
Calcul des réduites: Une relation semble se dégager entre le numérateur de l'un et le dénominateur du suivant.
Appelons H_n(z,q) le numérateur		Exemple:
Soit la relation de récurrence générique, en multipliant par H_n-1.
Pour résoudre cette identité, on suppose que H est égal à une série (somme infinie).
Nouvelle relation de récurrence avec ces séries.
Comparaison des coefficients:
En itérant de k – 1 jusqu'à 0, on trouverait:
En prenant a₀ = 1 Voyez la notation adoptée.
Retour à la fraction continue généralisée (avec z = 1)
Conclusion		La fraction continue de Rogers-Ramanujan est le rapport entre ces deux sommes. Sommes que nous avons déjà vues en début de page. Nous savons que toutes deux se transforment également en produits.

Retour sur les égalités
La gauche de notre première identité
Avec la conversion en séries géométriques:
En multipliant par (1 – q)
On continue
Finalement
Les puissances sont en 5m+1 ou 5m+4. On devine les deux identités suivantes; ce sont celles énoncées en début de page, mais avec les notations introduites ci-dessus.
Identités de Rogers-Ramanujan

Suite	Applications des fractions continues de Rogers-Ramanujan (valeur de Phi) Autres identités importantes
Voir	Application aux multiplications Constantes Différences entre puissances Égalités dans les triangles Factorisation selon Fermat Identité de Lagrange Identités trigonométriques Isopérimètre Nombres cubains Pépites Quelques développements de Taylor Somme Somme de carrés de nombres consécutifs Somme des entiers, des carrés… Tautochronie Théorèmes
Sites	How to discover the Rogers-Ramanujan Identities – Gaurav Bhatnagar – 2015 – Page qui a servi de modèle à celle-ci. Rogers-Ramanujan continued fraction – Wikipedia Rogers-Ramanujan continued fraction – Wolfram Mathworld
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Ramanuja.htm