NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/05/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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FACTORISATION avec les COMPLEXES

Théorème fondamental de l'algèbre

Tous les polynômes sont factorisables en utilisant les nombres complexes. Un polynôme de degré n aura n facteurs.

Cette page présente une sélection.

IDENTITÉS REMARQUABLES en complexe
x² + 1 x^3 + x² + x + 1 x^3 – x² + x – 1 x^4 + 1 x^6 + 1	= = = = =	(x – i) (x + i) (x + 1) (x + i) (x – i) (x – 1) (x + i) (x – i) (x² + i) (x² – i) (x^3 + i) (x^3 – i)

x² + 1 x² – 1	= =	(x – i) (x + i) (x – 1) (x + 1)
x² + i x² – i	= =	(x – r.i + r) ( x + r.i – 1) (x – r.i – r) ( x + r.i + 1)
x² + 4 4x² + 1	= =	(x – 2i) (x + 2i) (2x – i) (2x + i)

x^3 + 1 x^3 – 1	= =	(x + 1) (x² – x + 1) (x – 1) (x² + x + 1)
x^3 + i x^3 – i	= =	(x – i) (x² + ix – 1) (x + i) (x² – ix – 1)
x^3 + x x^3 – x	= =	x (x – i) (x + i) x (x – 1) (x + 1)
x^3 + 2x² + x + 1 x^3 + 2x² + x + 2 x^3 + 3x² + x + 3	= = =	(x + 1) (x + i) (x – i) (x + 2) (x + i) (x – i) (x + 3) (x + i) (x – i)

x^4 + 1 x^4– 1	= = =	(x² + i) (x² – i) (x² + 1) (x² – 1) (x – i) (x + i) (x – 1) (x + 1)
x^4 + i x^4 – i	= =	(x+p-i.m) (x+m+r.p) (x-m+p.i) (x-p+m.i) (x+p+i.m) (x+m-r.p) (x-m+p.i) (x-p-m.i)

x^5 + 1 x^5– 1	= =	(x + 1) (x^4 – x^3 + x^2 – x + 1) (x – 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
x^5 + i x^5 – i	= =	(x + I) (x^4 – i.x^3 – x^2 + i.x + 1) (x – I) (x^4 + i.x^3 – x^2 – i.x + 1)
x^5 + x^4 + x + 1 x^5 – x^4 + x – 1	= =	(x + 1) (x² + i) (x² – i) (x – 1) (x² + i) (x² – i)

x^6 + 1 x^6 – 1	= =	(x² – ix – 1) (x² + ix – 1) (x – i) (x + i) (x² – x + 1) (x² + x + 1) (x – i) (x + i)
x^6 + i x^6 – i	= =	(x^2 – i) (x^4 + i.x^2 – 1) (x^2 + i) (x^4 – i.x^2 – 1)
x^6 + x^4 + x² + 1	= =	(x² + 1) (x² + i) (x² – i) (x² + 1) (x² + i) (x – i) (x + i)

Voir Identités remarquables

Logiciels

La factorisation complexe s'obtient avec:

gfactor(---) sur wxmaxima

factor(---, I) sur Maple

Avec Maple, on peut aussi obtenir une factorisation plus poussée (mettre complex au lieu de I):

Avec des radicaux

Voir Calculs autour de i

POLYNÔMES en x (* est le signe multiplication)
Polynôme & sa factorisation	=>	Réelle	Complexe
x² + 1	=		(x + i) (x – i)
x² – 1	=	(x + 1) (x – 1)
x² + x + 1	=		(x + 0,5 + 0,866i*I) (x + 0,5 – 0,866*I)
x² + x – 1	=	(x + 1,618) (x – 0,6180)
x² – x – 1	=	(x – 1,618) (x + 0,6180)
x^3 + 1	=		(x + 1) (x – 0,5 + 0,866*I) (x – 0,5 – 0,866*I)
x^3 – 1	=		(x – 1) (x + 0,5 + 0,866*I) (x + 0,5 – 0,866*I)
x^3 + x	=		(x + 0) (x + i) (x – i)
x^3 – x	=	(x –1) x (x + 1)
x^3 + x + 1	=		(x + 0,682) (x – 0,341 + 1,162*I) (x – 0,341 – 1,162*I)
x^3 + x – 1	=		(x – 0,682) (x + 0,341 + 1,162*I) (x + 0,341 – 1,162*I)
x^3 + x² + x + 1	=		(x + 1) (x + i) (x – i)
x^3 + x² + x – 1	=		(x – 0,543) (x + 0,771 + 1,11*I) (x + 0,771 – 1,11*I)
x^3 + x² – x – 1	=	(x + 1)² (x – 1)
x^3 – x² + x – 1	=		(x – 1) (x + i) (x – i)
x^4 + 1	=		(x² + i) (x² – i)
x^4 + x + 1	=		(x + 0,727 + 0,43*I) (x + 0,727 – 0,43*I) (x – 0,727 + 0,934*I) (x – 0,727 – 0,934*I)
x^4 + x² + x + 1	=		(x + 0,547 + 0,585*I) (x + 0,547 – 0,585*I) (x – 0,547 + 1,121*I) (x – 0,547 – 1,121*I)
x^4 + x^3 + x² + x + 1	=		(x + 0,809 + 0,587*I) (x + 0,809 – 0,587*I) (x – 0,309 + 0,951*I) (x – 0,309 – 0,951*I)
x^5 + 1	=		(x + 1) (x + 0,309 + 0,951*I) (x + 0,309 – 0,951*I) (x – 0,809 + 0,587*I) (x – 0,809 – 0,587*I)
x^5 + x^4 + x + 1	=		(x + 1) (x² + i) (x² – i)
x^5 + x^4 + x^3 + x² x + 1	=		(x + 1,25) (x + 0,315 + 1,051*I) (x + 0,315 – 1,051*I) (x – 0,440 + 0,6863*I) (x – 0,440 – 0,6863*I)
x^6 + 1	=		(x^3 + i) (x^3 – I)
x^6 + x^4 + x² + 1	=		(x² + 1) (x² + i) (x² – i)

Explicitation des nombres ci-dessus
0,8660254040…	=
1,618033989… Nombre d'or	=
0,6823278040… =
0,6823278040…	=	A/6 - 2 /A
0,3411639019…	=	A/3 - 1/A
1,161541400 …	=	A/3 + 1/A
0,5436890125…	=	A/3 - 2/3A - 1/3
-0,7718445065…	=	-A/6 + 1/3A - 1/3
-1,115142508…	=	- (A/3 + 2/3A ) Ö3/2

Nous avons atteint la puissance 3

Avec les puissances supérieures les expressions sont plus compliquées!

Ce qui montre que les factorisations données ci-dessus ne sont pas très faciles à calculer

POLYNÔME DE DEGRÉ 2

x² + 1 = (x + 1,000000000*I) (x - 1,000000000*I) x² + 2 = (x + 1,414213562*I) (x - 1,414213562*I) x² + 3 = (x + 1,732050808*I) (x - 1,732050808*I) x² + 4 = (x + 2,000000000*I) (x - 2,000000000*I) x² + 5 = (x + 2,236067977*I) (x - 2,236067977*I) x² + 6 = (x + 2,449489743*I) (x - 2,449489743*I) x² + 7 = (x + 2,645751311*I) (x - 2,645751311*I) x² + 8 = (x + 2,828427125*I) (x - 2,828427125*I) x² + 9 = (x + 3,000000000*I) (x - 3,000000000*I) x² + 10 = (x + 3,162277660*I) (x - 3,162277660*I)

POLYNÔME DE DEGRÉ 3
x^3 + 1 = (x + 1) (x - 0,5 + 0,866*I) (x - 0,5 - 0,866*I) x^3 + 2 = (x + 1,260) (x - 0,6300 + 1,091*I) (x - 0,6300 - 1,091*I) x^3 + 3 = (x + 1,442) (x - 0,7211 + 1,249*I) (x - 0,7211 - 1,249*I) x^3 + 4 = (x + 1,587) (x - 0,7937 + 1,375*I) (x - 0,7937 - 1,375*I) x^3 + 5 = (x + 1,710) (x - 0,8550 + 1,481*I) (x - 0,8550 - 1,481*I) x^3 + x^2 + 4 = (x+2) (x - 0,5 + 1,323*I) (x - 0,5 - 1,323*I)

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