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Édition du: 07/12/2023

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Quadrilatère convexe

Produits croisés des aires avec les diagonales

 

Les diagonales d'un quadrilatère convexe découpent celui-ci en quatre triangles.

Aires: A, B, C et D  dans cet ordre.

Les produits des aires des triangles opposés sont égaux: AC = BD.

La démonstration n'est pas compliquée si on a l'idée d'un construction adéquate.

  

 

Sommaire de cette page

>>> Propriété

>>> Démonstration

>>> Démonstration rapide par l'aire des triangles

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

 

 

Propriété

haut

 

Construction

Un quadrilatère convexe quelconque ABCD.

Ses deux diagonales découpent le quadrilatère en quatre triangles.

 

Produit croisé des aires

23,7838 × 13,7838 = 327,83

20,2162 × 16,2162 = 327.83

Égalité !

Cette égalité est toujours vérifiée.

 

Note: les segments roses représentent le produit des aires divisé par 100.

 

 

Voir Application au trapèze / Défi des cinq triangles dans le triangle

 

 

Démonstration

haut

 

L'intuition consiste à dessiner les parallèles aux diagonales passant par les sommets, créant le quadrilatère PQRS dont l'aire est notée S.

Ce nouveau quadrilatère est un parallélogramme. Il est divisé en d'autres parallélogrammes dont les aires sont proportionnelles aux longueurs correspondantes des diagonales.

On calcule les aires des sous-parallélogrammes en fonction de l'aire S.

L'aire de chacun des triangles colorés est la moitié de celle du parallélogramme qui le couvre. 

 

 

 

Ce qui prouve l'égalité du théorème.

 

 

Conséquence pour le parallélogramme

Dans un parallélogramme, deux sécantes parallèles aux côtés découpent celui-ci en quatre sous-parallélogrammes dont le produit croisé des aires est constant.

Ce qui se lit immédiatement sur la figure.

Voir Parallélogramme divisé

 

 

 

Démonstration rapide par l'aire des triangles

haut

 

Démonstration

 

 

Commentaires

Cette démonstration est beaucoup plus rapide que celle présentée ci-dessus.

Communiquée par Michel Soussan qui la tient de Jérôme Frossard.

Merci à tous les deux.

 

 

 

 

Merci à Françoise J. pour l'idée de cette page

 

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