NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres géométriques

 

 

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Introduction

Formes

Fraction = carré

Triplets de Pythagore

 Différences carrés (Rolle)

Fraction = carré

Quadruplets diophantiens

 

Sommaire de cette page

>>> Exemple de quadruplet diophantien

>>> Cas de m-tuplets

 

 

 

 

QUADRUPLETS Diophantiens

 

Groupe de quatre nombres tels que toutes leurs combinaisons en xy + 1 produisent un carré parfait.

 

 

 

Exemple de quadruplet diophantien

{1, 3, 8, 120}

 

 

xy + 1 = k²

 

Fermat connaissait ce quadruplet, mais c'est Euler qui énonce que seul le nombre 120 peut être le complément de {1, 3, 8, ?).

 

 

Ensemble complet de nombres tels que xy + 1 est un carré quels que soient x et y différents pris dans cet ensemble.

 

Toutes les combinaisons => carrés

 

 

Cas de m-tuplets

Définition d'un m-tuplet

Tel que

Premier quadruplet

 

{1, 3, 8, 120}

Fermat connaissait ce quadruplet, mais c'est Euler qui énonce que seul le nombre 120 peut être le complément de {1, 3, 8, ?).

En 1969, Baker & Davenport prouve que ce quadruplet ne pet pas être étendu à un quintuplet.

 

Triplets étendus

 

Si on connait un triplet diophantien, il est toujours possible de l'étendre à un quadruplet.

{a, b, c}, un triplet diophantien.

ab + 1 = r²

ac + 1 = s²

bc + 1 = t²

Le nombre suivant formant le quadruplet est:

d = a + b + c + 2abc + 2rst.

 

 

 

 

 

 

Suite

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*    Équations diophantiennes

Voir

*    Puissance

*    Carrés

*    Triplets de Pythagore

Sites

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