Triangle et pavage

Le pavage consiste à recouvrir une surface avec des pièces de formes données, comme on le fait en réalisant un puzzle. Pas de chevauchement, pas d'espaces on recouvert.

Le pavage le plus simple est celui du carreleur avec des carreaux de forme carrée ou rectangulaire.

Cette page est une introduction au problème géométrique du pavage. LA forme utilisée et le triangle.

Anglais: Jigsaw puzzle

Voir Pavage – Une approche via les trasnformations

Pavage avec des carrés et rectangles
Pavage avec des carrés Une seule possibilité
Pavage avec des rectangles Nombreuses possibilités Pavage mixte, avec des carrés et des rectangles Nombreuses possibilités

Voir Carrés et rectangles / Pavage carré parfait

Pavage avec des triangles

Pavage avec des triangles y compris le triangle quelconque

Voir Triangle

Pavage avec le triangle quelconque – Méthode
Partant d'un triangle quelconque, en créer un autre par rotation de 180° autour du point milieu d'un des côtés (point bleu). Ces deux triangles forment un parallélogramme. Le pavage est créé en collant plusieurs de ces formes entre elles. Étapes de la construction
Chaque nouveau triangle est le même que celui qui lui est adjacent par l'un de ses côtés en le basculant de l'autre côté et en le faisant pivoter.
Cette construction est toujours possible quel que soit le triangle. Ceci est dû à la propriété de tout triangle: La somme de ses trois angles est égale à 180°.

Pavage avec le quadrilatère quelconque – Méthode

Comme pour le triangle, et parce que la somme des angles est égale à 360%, il est possible de paver le plan avec un quadrilatère quelconque.

La maille répétitive, formée de quatre quadrilatères ayant pivotés, est marquée en bleu foncé.

Voir Quadrilatère

Bilan

Le pavage du plan est toujours possible avec les triangles et les quadrilatères de toutes natures, c'est-à-dire avec les polygones à trois et quatre côtés. Et pour les autres?

Nous verrons qu'il existe de nombreuses possibilités mais que ce n'est pas toujours possibles pour les polygones réguliers.

Pavage d'Escher – À la façon d'Escher

Dessin itératif, typique de Maurits Cornelis Escher (1898-1972).

Il disait: recouvrir le plan est devenu une réelle manie addictive et j'ai parfois du mal à m'y arracher.

Le principe de construction de ces dessins de base est simple, le reste st dû à la créativité de l'artiste.

Un des principes, à base de carrés

1) Réalisez un quadrillage carré (bleu pointillé);

2) Dessinez une ligne passant par trois sommets, laissant le quatrième en bas à droite libre (ligne rouge).

3) Répétez cette ligne dans le quadrillage.

Réalisation pratique

Pour réaliser une pièce du pavage (du puzzle):

1) Dessinez un rectangle (ou un parallélogramme) dans de la cartoline (papier cartonné);

2) Tracez une ligne entre les deux sommets du haut: ligne courbe, brisée, sortante, rentrante.

3) Copiez cette courbe entre les deux sommets du bas.

4) Pratiquez une opération semblable pour les bords verticaux.

5) Découpez la pièce et reproduisez la autant que vous voulez. Elles s'emboitent entre elles.

Certains découpe un rectangle, puis les parties n creux et les colle avec du ruban adhésif pour former les partie saillantes.

Cas du triangle

Appliquez la même méthode en déformant un côté en une ligne à votre goût et reproduire cette courbe su les deux autres côtés.

Avec cette méthode, la somme des angles est conservée et six telles pièces s'assemblent pour former un angle complet de 360°.

Les vingt triangles rectangles en carré
Problème Comment disposer un minimum de ce type de triangle rectangle pour obtenir un carré ? Comment faire un carré avec vingt de ces triangles ?	Le triangle à utiliser
Carré Nous remarquons qu’il s’agit d’un triangle rectangle qui, par deux, forment : - Un rectangle 4 x 8, ou - Un triangle isocèle de côté8. Pour former un carré 8 x 8, il suffit de doubler le rectangle. Seuls quatre triangles suffisent. Quatre tels carrés assemblés forment un carré plus grand. Son côté vaut 16 et il faut 16 triangles. Avec cette méthode, impossible de créer un carré avec vingt triangles. Comment s’y prendre, alors ?
Triangles semblables Comment former un triangle plus grand semblable à l’original ? Un assemblage de quatre triangles fera l’affaire. Évidemment pas question de trouver un assemblage de ces grands triangles selon la méthode précédente pour trouver un carré. Il faut une astuce !
Carré avec vingt triangles La solution consiste à assembler quatre grands triangles (contours bleus) comme indiqué et à combler le carré central (vert) avec le grand carré vu plus haut. Le grand carré compte alors : 4 x 4 + 4 = 20 triangles. La longueur de son côté (C) est égale à deux fois l’hypothénuse (H) de chaque triangle élémentaire : Calcul H² = 4² + 8² = 16 + 64 = 80 H = 8,94427 ... C = 17,88854...

Suite	Pavage polygonal – Cas possibles ou non Pentagone Hexagone – pavage
Voir	Carré Carrés parfaits Dodécagone Dominos Frises – Bandes décoratives Géométrie – Index La pièce de puzzle Méandres Pavage mystérieux du triangle Pentominos Polygone Triangle équilatéral
Diconombre	Nombre 3
Sites	Shapes that tesssellate – Illustrations de nombreuses possibilités; possibilité de créer votre propre pavage.
Cette page	http://diconombre.fr/Pavage/Polygone.htm