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LUNULES ou croissants de Lune aussi:
lentilles ou ménisques La lunule est l'une des
surfaces qui apparait lorsque deux cercles
Note: La
lunule est la tache claire située sur la base de chaque ongle, sutout visible
sur le pouce. |
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Voir Optique
Un
carré (bleu) de côté a. Un
grand quart de cercle (A;
R = a) Deux
petits demi-cercles (M
et N; R = a/2) La
figure jaune qui ressemble à un poisson est partagée en deux parties dont
vous devez comparez les aires. Calculez également l'aire du poisson jaune. |
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= = = Aire du demi-cercle en C' Notes: la figure
est plus jolie avec des demi-cercles, mais on aurait exactement la même
relation avec les cercles complets. En puriste, on aurait dû dire
aire des demi-disques
plutôt que demi-cercles. |
a² + b² = c² Cette propriété
montre que la somme des aires des demi-cercles mauves est égale à l'aire du demi-cercle bleu. |
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DcB + DcC = DcA DcB + DcC – DcA = 0
LuB + LuC = la figure au dessus de CB moins le demi grand
cercle, égal à DcA = DcB + DcC + Tr – DcA
LuB + LuC = Tr |
En
termes d'aires: Lunules =
petits demi-cercles + triangle auquel on retire le grand demi-cercle. Bilan: L'aire des deux lunules est égale à celle du
triangle rectangle. |
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Voir Hippocrate et ses contemporains
Cas du
carré
Sur
cette figure l'aire des quatre lunules (bleues) est égale à l'aire du carré
central (l'ocre ou le mauve). Cela
résulte de la propriété énoncée ci-dessus. Le triangle étant aussi isocèle et la figure est doublée
vers le bas par symétrie. L'égalité
entre aires originaires de cercles et de carrés avait laissé penser que la
solution de la quadrature du
cercle était là, sous-jacente. |
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10 + 11 =
20 + 21+ 30 + 31 Aire bleue = aire verte
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Secteur Segment Différence Lunule |
SecO' SegO SecO' – SegO 1 |
= 1 + 2 = 2 + 3 = 1 – 3 = SecO' – SegO +
3 |
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Angles |
AOB AO'B |
= = 2 |
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Aire secteur Aire segment Aire du losange |
ASecO' ASegO ALos |
= ½ R² (2 = ½ R² ( = R² sin |
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Aire de la lunule |
ALunule |
= ½ R² (2 – ½ R² ( + ½ R² sin = R² ( |
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Quelques valeurs
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Lunule |
ALun |
= Aire MBN – Aire
MCN |
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Aire MBN |
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Aire MCN |
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Bilan |
L'expression avec
R, R' et d n'est pas simple! Voir la page Lune de
Wolfram |
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Voir Aire de la lentille
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Suite |
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Voir |
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