|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
FRACTALES – Introduction
En
zoomant une partie, le tout refait son apparition.
Le même
objet est observable même en augmentant l'échelle.
|
Poupées russes ou en anglais: Matryoshka russian nesting dolls
|
Je
crois que le savoir scientifique a des propriétés fractales, quelle que soit
l'étendue de nos connaissances, ce qui en reste, aussi petit que cela
paraisse, est aussi infiniment complexe
que la totalité l'était au début. Voilà, je crois le secret de
l'Univers. Isaac
Azimov Cité
par Clifford Pickover – Oh, encore des nombres - Dunod |
Voir Pensées & humour
|
|
||
|
Vocabulaire Fractal,
fractale, adjectif: Une
fractale, nom féminin La construction d'une fractale est finalement assez
simple. Définition Larousse fractal, e, als adjectif Objet fractal.
Géométrie fractale. La nature offre de nombreux exemples
de formes présentant un caractère fractal : flocons de neige,
ramifications des bronches et bronchioles, des réseaux hydrographiques, etc. Définition Encarta Fractales, figures géométriques de structure
complexe dont la création ou la forme met en jeu des règles utilisant le
fractionnement. Les fractales sont à la base d’un nouveau système de
géométrie permettant de représenter des objets très irréguliers tels que les
reliefs montagneux, les amas galactiques ou les côtes rocheuses très
découpées. |
|
|
|
Définition Wikipédia On nomme figure fractale ou
"fractale" par substantivation de l'adjectif (ou encore en anglais
fractal), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée
en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie
interne. Le terme « fractale » est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot
en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui
signifie brisé, irrégulier. Dans la « théorie de la rugosité » développée par
Mandelbrot, une fractale désigne des objets dont la structure est liée à
l'échelle. Ma définition Objet géométrique obtenu par
exploration du comportement d'une fonction en chaque point d'un plan (par
exemple). Sa représentation graphique montre des formes esthétiques qui se
reproduisent quelle que soit l'échelle de représentation (autosimilarité ou homothétie interne). |
||
Voir Réflexions sur
les fractales
|
|
||
|
Habituellement
|
Triangle
Cette seule zone agrandie ne
permet pas de dire qu'elle provient d'un triangle. Voir introduction sympathique en |
|
|
|
Chaque disque est percé de deux
disques, lesquels sont percés de deux disques, lesquels sont percés … |
|
|
||
|
|
|
|
Exemples
|
Extrait de livre résumant l'historique du concept de fractale
From Newton to Mandelbrot: a primer in
theoretical physics with fractals for the personal computer** – Dietrich Stauffer, Eugene Stanley – 1996 Traduction
|
Voir Platon / Kepler / Newton / Mandelbrot
|
|
|||
|
Euclide d'Alexandrie vers
300 avant J.-C. |
Il définit la géométrie qui va
prévaloir durant les deux millénaires
à venir: droite ou courbe, sans point rugueux. Et, surtout, avec quatre types
de dimensions entières: 0 pour le point; 1 pour la ligne; 2 pour le plan; et,
3 pour les solides. |
||
|
Apollonius (vers-262
à -190)
|
|
||
|
Edmond Halley (1656-1742) |
Il pense que les orbites s'expliquent
par la loi de l’inverse des carrés. |
|
|
|
Albrecht Dürer (1471-1528)
|
En 1520, Il explique comment construire
ses pentagones dans livre: Instructions
pour la mesure, à la règle et au compas des lignes, plans et corps solides. Sierpinski reprendra cette figure. |
|
|
|
Johannes Kepler (1571-1630) |
Il se rend compte que les planètes ne décrivent pas
des cercles mais des ellipses. |
||
|
Isaac Newton (1642-1727) |
Il développe le calcul infinitésimal
qui lui permet de modéliser
le mouvement des projectiles et des planètes. |
||
|
Gottfried Leibniz (1646-1716) |
Il développe le calcul
différentiel dont la formulation est plus claire que celle de Newton et
lui vaudra de passer à la postérité. Vers 1700, il introduit la notion
d'autosimilarité: propriété d'une figure qui préserve une certaine symétrie
malgré les variations d'échelle. |
||
|
(1789-1857) et son élève Karl Weierstrass |
Ils expliquent le paradoxe des
infinitésimaux (voir le paradoxe d'Achille et la tortue ou
celui de la flèche
de Zénon d'Élée (vers -490 à -425). |
||
|
James Clerk Maxwell (1831-1879) |
Il établit les équations
électromagnétiques en faisant un usage magistral du calcul différentiel. |
||
|
Pierre-Simon Laplace (1749-1827) |
Il affirmait que cette méthode de
calcul permettrait de prédire tout le futur de l'Univers à condition de connaître la
position exacte de chaque particule. Tout se déduit de lignes plus ou moins
courbe présentant des inflexions, des nœuds... objets qui se prêtent au
calcul différentiel. |
||
Régularité
|
Jusque là tout est régulier, même si on sait
désormais maitriser des formes très complexes à l'aide du calcul
différentiel. En bref: les courbes ont une tangente bien définie en chaque
point: notion de pente, de gradient, de dérivation. |
|
Thomas Malthus (1766-1834) |
Il remarque que la population augmente de
façon exponentielle
alors que la production de la nourriture ne croissait que linéairement.
Avec une telle évolution, il prédit une famine inéluctable. En réalité, des
freins naturels à la croissance existent dès que la nourriture vient à
manquer. |
|
|
Karl Weierstrass (1815-1897),
Georg Cantor (1845-1918)
et Henri Poincaré (1845-1912) |
Ils font naître une nouvelle géométrie
plus à même de décrire les aspects irréguliers et rugueux du monde. |
|
|
Karl Weierstrass 1872
|
Il est le premier à mettre en évidence
une courbe uniquement constituée d'angles et qui, par conséquent, résiste au
calcul différentiel. Avec Cauchy, il développait un nouveau domaine des
mathématiques : l'analyse dont un des objectifs était la définition
précise des nombres et de la continuité. L'illustration
présente une courbe formée d'une sommation de courbes en cosinus: Ces
courbes monstrueuses sont qualifiées de pathologiques. La
fonction complexe de Weierstrass (pour information):
Elle
est continue, mais ulle part dérivable. |
|
|
(1854-1912)
|
Mathématicien, physicien et philosophe
des sciences, il montre qu'il est possible d'avoir une vision du comportement
de systèmes dynamiques complexes en se ramenant à des modèles mathématiques
assez simples. Il découvre une nouvelle forme de fractales émergeant de
l'exploitation d'équations non linéaires. Sans l'aide des ordinateur, il
passera à côté de la beauté de ces fractales. En 1897, il publie Vorlesungen
uber die Theorie der Automorphen Funktoren
(Conférences sur la théorie de fonctions automorphes). Y figure des dessins
du pavage hyperbolique que Esher va
reprendre (illustration). |
|
|
Pierre François Verhulst
(1804-1849) |
Dans les
années 1840, mathématicien belge, il introduit une rétroaction négative dans
le modèle de Malthus. Ce modèle conduit à u e stabilisation de la population
selon la nourriture disponible. C'est l'équation logistique: xN+1 = R
. xN (1 – xN) |
Les
prémisses
|
Georg Cantor (1845-1918)
|
Il est l'un des pionniers de la théorie des
ensembles. Il va se heurter toute sa vie à l'infini et à la nature du
continuum. En 1877, il découvre qu'il est possible de désigner
un point du plan avec un seul paramètre. Cantor disait: Je le vois, mais je
ne le crois pas! En 1883, Cantor trouve un ensemble qui porte son
nom et qui est de nature fractale (Anglais: Cantor dust,
poussière de Cantor). Ensemble qui avait déjà été mis en évidence en 1875 par
Henry Smith (1826-1883), un professeur de géométrie à Oxford. Avec sa fameuse diagonale, il
montre qu'il existe plus de points dans le continuum (nombres réels) que ne
peuvent en compter les nombres
naturels (nombres entiers). Il est contraint d'envisager l'existence de
plusieurs sortes d'infinis.
C'est l'arithmétique des transfinis. |
|
|
Giuseppe Peano (1858-1932)
|
En 1890, professeur d’analyse
infinitésimale, il découvre une courbe qui remplit l'espace. Elle se replie de
façon telle qu'elle passe par chaque point du plan entier. Aucun point du
plan n'est exclu de la ligne courbe de Peano : cartographie biunivoque
entre une ligne et le plan. |
|
|
David Hilbert (1862-1943)
|
David Hilbert crée sa courbe pathologique,
une courbe qui remplit l'espace (space filling curve). Un courbe qui
est de dimension 1 et qui remplis complètement un espace de dimension 2. |
|
|
Jean Perrin (1870-1942) William Feller (1906-1970) |
Perrin: physicien et chimiste français,
il publie Les atomes en 1913. Feller: mathématicien spécialiste des
probabilités. Einstein publie en 1905 son explication théorique
du mouvement
brownien en fonction du mouvement aléatoire des molécules. Jean Perrin
vérifie les prédictions d'Einstein et démontre en 1908 un accord complet
entre théorie et expérience, ce qui confirme l'existence effective des atomes. Feller simule aussi
le mouvement brownien et lui trouve une nature chaotique. |
|
|
Luitzen Brouwer (1881-1966) |
En 1911, mathématicien néerlandais, il
démontre que la dimension est un invariant
topologique ; elle ne peut pas être altérée par une déformation
continue. |
|
|
Paul Lévy (1886-1971)
|
Mathématicien
français, un des fondateurs de la théorie moderne des probabilités. A contribuée à la théorie du mouvement brownien.
Son livre: Processus stochastiques et mouvement Brownien. Il décrit les propriétés de l'autosimilarité et en
montre la construction géométrique. Courbe décrite avant par Ernesto Cesaro
(1906) et par Georg Faber (1910). L'illustration montre la courbe auto-similaire
de Levy ou courbe en C. |
|
|
Gaston Julia (1893-1929) étudiant de Poincaré et Pierre Fatou (1878-1929)
|
Vers
1914, ils étudient séparément la cartographie (ou transformation)
du plan des nombres
complexes par application de fonctions itératives. La transformation
produit une image d'un point de départ. Les deux mathématiciens s’intéressent
particulièrement aux images répétées (itérations). Travaux méconnus car les
résultats ne sont apparents que par le grand nombre de points et le grand
nombre d'itérations, impossible à révéler sans l'aide des ordinateurs. Leurs
travaux mettent en évidence des bassins d'attraction aux frontières très
compliquées connues sous le nom d'ensemble de Julia. Gaston Julia publie ses travaux en 1918: Mémoire
sur l'itération des fonctions rationnelles. Il y met en évidence ce qui est
connu aujourd'hui sous le nom d'ensembles de Julia: des bassins d'attraction
aux frontières très tourmentées. Il les imagine mais ne les verra jamais
faute de disposer de moyens de calcul comme les ordinateurs. Julia devient
célèbre, mais ses travaux attendront cinquante ans avant d'être exploités. Fatou découvre exactement les mêmes résultats que
Julia. Ce dernier lui disputera l'antériorité. Bilan: l'Académie des Sciences accorde le Grand
prix à Julia et remet un prix spécial à Fatou qui, découragé, fuyait la
polémique, et n'avait pas voulu concourir. |
|
|
Felix Hausdorff (1869-1942) |
Mathématicien allemand, père de la
topologie moderne, en 1919, il définit une nouvelle manière de considérer la
notion de dimension : la dimension fractale prenant des valeurs non
entières. Son travail sera approfondi par Abraham
Samilovitch Besicovitch entre 1934 et 1937. |
|
|
Helge von Koch (1870-1924)
|
En 1904, il invente la courbe flocon
de neige ou courbe triadique de Koch. La courbe finale est infiniment longue bien que
contenue dans un espace fini. Elle ne possède aucune tangente et ne présente
aucune régularité. En pratiquant une coupe en des endroits précis on met en
évidence une quantité infinie d'ensembles de Cantor. La courbe de Koch
contient quatre copies de la courbe de Koch à l'échelle 1/3 ; sa
dimension est log4/log3 = 1,26... |
|
|
Robert Brown (1773-1858) |
En 1927, ce botaniste écossais,
découvre le mouvement brownien et sa nature
physique et non biologique. En 1906, Albert Einstein et Marian
Smoluchovski développe la théorie |
|
|
Jean Perrin (1870-1942) |
Physicien et chimiste français, il
démontre en 1895 que les rayons cathodiques sont composés de corpuscules, les
électrons. Concernant le mouvement brownien, il
pense que la trajectoire est non-dérivable et qu'elle est auto-similaire. |
|
|
En 1926, il s’intéresse à la mesure de
la longueur
des côtes britanniques. Elle dépend de la taille de la règle. Elle est
infinie avec une règle infiniment petite. En fait, elle est fractale. |
||
|
Edward Lorenz (1917-2008)
|
Mathématicien et météorologue du MIT,
il est le fondateur de la théorie du chaos. À
partir des données de Richarson, Mandelbrot en déduit que la dimension
fractale de la côte est d'environ 1,26. |
|
|
Vaclav Sierpinski (1882-1969)
|
En 1916, Vaclav Sierpinski (1882-1969),
propose une nouvelle fractale : le joint de culasse ou tamis de
Sierpinski. Une figure dont le principe de construction était connu de
certains artistes comme Maurits Cornelis Escher
(1898-1972). Il consiste évider un triangle
équilatéral en son centre avec un triangle quatre fois plus petit. Les
trois triangles pleins sont évidés à leur tour. Bilan : une forme
composée de trois copies d'elle-même, chacune correspondant à la moitié du
trou. D'autres motifs peuvent être obtenus à partir d'autres polygones et
même polyèdres.
À notez : le triangle de Sierpinski se
retrouve dans le triangle
de Pascal. |
|
|
Karl Menger (1902-1985)
|
Mathématicien autrichien, en 1926, il
décrit la fractale en trois dimensions dite éponge de Menger (ou
Sierpinski-Menger). Extension en trois dimensions de l'ensemble de Cantor ou
du tapis de Sierpinski. |
|
|
Années
1970 |
La redécouverte de la formule
d'itération quadratique de Verhulst va relancer la théorie du chaos.
Selon la valeur de R, tout va changer : convergence vers une valeur,
oscillation entre deux valeurs ; ou plusieurs ; ou chaos. |
|
|
Rober May (né
en 1936) Mitchell Feigenbaum (né
en 1944) Feigenbaum = figuier en allemand
|
Vers 1970, Rober May découvre la nature
fantasque de la loi logistique. Avec R qui augmente, soudain, de convergente
(R < 2,6), la formule laisse place à une oscillation entre deux valeurs,
puis quatre avec R vers 3,1. Ce dédoublement
périodique est appelé bifurcation et va se renouvelle en continuant à faire
croître R. Le graphe représentant ces bifurcations
à la forme d'un figuier. C'est le graphe de Feigenbaum (physicien américain).
Il montre que la formule devient chaotique, puis ouvre une fenêtre ou règne à
nouveau l'ordre. |
|
|
Jackson Pollock (1912-1956)
|
Ce peintre américain de
l'expressionisme abstrait est connu pour tableau fractals. L'analyse montre que le principe d'autosimilarité
statistique est respecté. Elle
consiste à vérifier par l'intermédiaire d'une grille de N carrés posée sur la
toile que la proportion de motifs reste constante quel que soit le nombre de
carrés étudiés et donc quelle que soit la taille des carrés. Illustration avec le tableau Kaleidoscope
flower. |
|
La vraie
naissance des fractales
|
Benoît Mandelbrot (1924-2010) Mathématicien
polonais franco-américain.
Voir sa
programmation simple avec Scratch |
En 1975
, il invente le mot fractal. Du latin fractus,
brisé, cassé, fracturé.Il est considéré comme le
père de la géométrie fractale. The history of fractals
dates back to 1975, when Fractals were discovered by Benoît Mandelbrot. Il travaille chez IBM et résout un problème
de bruit aléatoire dans les transmissions entre ordinateurs. Il avait constaté que les erreurs étaient de type
fractal. Il prend connaissance des œuvres de Julia et Fatou et les exploite à
l'aide d'ordinateurs. Il s'intéresse à une itération particulièrement
simple : un nouveau point Z du plan complexe est calculé en prenant le carré du précédent ajouté d'une constante. ZN+1 = ZN2 + C Il découvre de nombreuses figures (dragon auto-carrés) selon la valeur de la constante. Ces figures
sont soit totalement connectées (courbes fermée, boucles, dendrites) ou
totalement déconnectées (comme l'ensemble de Cantor). En 1980, Mandelbrot étudie les frontières entre ces
deux types de figures. Julia savait que l'ensemble est connecté si l'orbite
d'un point durant une itération est convergente et déconnectée si l'orbite se
prolonge à l'infini. Cette manière de cartographier le plan révèle la fameuse
figure du pou
de Mandelbrot représentant l'ensemble M de Mandelbrot. Il y découvre avec
émerveillement que la grande figure se réplique sans fin à plus petites
échelles. Partant
d'une situation quelconque, Mandelbrot observe qu'à la longue, les points
sont attirés par une attracteur
dit étrange ou plus exactement un attracteur fractal. |
|
|
Tien Yien Li et James York en
1975 |
En 1975,
ils publient Period Three
implies Chaos (la période trois entraîne le chaos)
qui introduit le terme de chaos puis le
développement d'une nouvelle science la théorie du chaos. Ces deux auteurs montrent qu'un système dynamique à
une dimension, avec un cycle de période trois, contient aussi
toutes les autres périodes. Alexei Sarkowski avait lui aussi, fait ce constat,
passé inaperçu car écrit en russe. Voici un nouveau domaine où il faut admettre qu'il
existe des choses que nous ne pourrons jamais connaître, comme le principe d'incertitude
d'Heisenberg ou encor le théorème
d'incomplétude de Gödel. |
|
|
Mitchell Feigenbaum En
1977 |
Il montre que le rapport entre les
distances entre bifurcations converge vers une constante
4,669 201 609 102 990 671 853 203 82... Le principe du doublement de période
est un principe général naturel. |
|
|
Michel Barnsley (né
en 1946) & Alan Sloan |
En 1987, ils découvrent une autre façon
de construire les fractales. Il développe une méthode de compression de
l'information fractale basée sur la détection de récurrence de motifs. |
|
|
Kenneth Falconer 1990 |
Il publie: Fractal Geometry:
Mathematical Foundations
and Applications, une référence en matière de mathématique des fractales.
Seconde édition étendue en 2005. |
|
|
Tan Lei (1963-2016)
|
La mathématicienne chinoise,
travaillant à l’université d'Angers, a prouvé que l'ensemble M de Mandelbrot
est asymptotiquement semblable aux ensembles de Julia proches d'un quelconque
point de sa frontière. Plus on zoom plus, la figure ressemble à un ensemble
de Julia particulier. |
|
|
Mitsuhiro Shishikura (né
en 1960) |
En 1998 (publication), le mathématicien
japonais démontre que la frontière de l’ensemble de Mandelbrot est de
dimension fractale 2, propriété conjecturée par Mandelbrot et Milnor. |
|
|
L'ensemble de Mandelbrot n'est pas une invention.
C'est une découverte. Un peu comme le mont Everest est juste là. Roger Penrose Demain, quelqu'un qui n'est pas familiarisé avec
les fractales ne pourra être considéré comme scientifiquement instruit. John
Archibald Wheeler (1911-2008) - Physicien expert en cosmologie et en physique
quantique ; proche de Niels Bohr et Albert Einstein Les fractales sont importantes car elles ont permis
de révéler un tout nouveau domaine des mathématiques, pertinent directement
pour l'étude de la nature. Ian Stewart,
professeur de mathématiques de l'université de Warwick en Angleterre. |
|
|
|
|
J. R. Maddocks
Wikipedia
Math Forum |
|
|
Suite |
|
|
Voir |
|
Livres |
|
|
Sites sélectionnés par TANGENTE |
|
|
Autres Sites |
|
|
Générateur |
|
|
Théorie |
|
|
Sites connexes |
|
|
Cette page |
