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Deux CERCLES Aire de la lentille d'intersection Le cas général sera abordé
après exposition de quelques cas particuliers, plus simples. Si on connait l'aire de la lentille,
on connaît, par différence, l'aire de la lunule
associée. |
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Deux
cercles de rayon R. L'un
passe par le centre de l'autre. Alors:
OO' = R Aire de
la lentille = 2 x Aire du segment MO'M'. Aire du segment: Avec: h, la
hauteur du segment = R/2 R² – h² = R² – (R/2)² = 3R²/4 Arccos (h/R) = arcos(1/2) = 60°= |
Les triangles OMO' et OM'O' sont équilatéraux MO = MO' = OO' = R;
Angle MOO' = angle
MO'O = angle OMO' = 60°. |
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Deux
cercles de rayon R. Les
centres sont distants d'une longueur d. La figure
reste symétrique et l'aire de la lentille est égale à deux fois celle du
segment. Avec h =
d/2 |
Application numérique R = 5 et d = 8 avec
arccos 8/10 = 0,6435 … radian |
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On ne donne pas de
formule finale. En pratique, suivre les étapes de calcul. Deux
cercles de rayon R et R'. Les
centres sont distants d'une longueur D. L'aire de
la lentille est égale à la somme de deux segments. |
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Calcul de
d et d' |
Calculer d, cela revient à calculer l'abscisse du pied de
la hauteur PC du triangle quelconque OP0' |
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La loi des cosinus en
général puis,
appliquée à notre cas |
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Soit la valeur
de d et d'. |
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Segment –
Formule générale |
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Dans les
triangles rectangles OPC et O'PC |
H² = R² – d² = R'² – d'² |
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Segment
lié au cercle (O, R) |
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Segment
lié au cercle (O', R') |
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Application numérique (voir figure) R = 6,6 R' = 4,7 D = 8 |
d =
5,3418750 d' =
2,6581250 H =
3,876128 As =
6,637 A'S = 11.,117 AL = 17,754 |
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Cas où l'angle
d'intersection est droit |
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Deux
cercles de rayon R et R'. Les
centres sont distants d'une longueur D inconnue. On sait
que l'angle OPO' est droit. |
D² = R² + R'² |
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Valeur de
d et d'. |
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Application numérique Avec les
mêmes formules que ci-dessus R = 20 R' = 15 |
D = 25 d =
16 d' =
9 H =
12 As =
6,637 A'S = 65,40 AL = 166,04 |
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Vérification graphique Remarquez
la position des cercles pour obtenir facilement l'angle de 90° à
l'intersection. Le
graphique donne 160 pour un calcul à 166. |
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