NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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CERCLE / DISQUE

 

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Surface – Aire

 

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Géométrie

 

 

INDEX

 

Cercle

 

Géométrie

 

Disque

Secteur

Segment

Lentille

Lunule

Croissant

Rectangle dans cercle

Densité

 

Sommaire de cette page

>>> Cas simple – Deux cercles identiques

>>> Cas général – Deux cercles quelconques

 

 

 

 

 

Deux CERCLES

Aire de la lentille d'intersection

 

Le cas général sera abordé après exposition de quelques cas particuliers, plus simples.

Si on connait l'aire de la lentille, on connaît, par différence, l'aire de la lunule associée.

 

 

 

Cas simple – Deux cercles identiques

 

Deux cercles de rayon R.

L'un passe par le centre de l'autre.

Alors: OO' = R

 

Aire de la lentille = 2 x Aire du segment MO'M'.

 

Aire du segment:

Avec:

h, la hauteur du segment  = R/2

R² – h² = R² – (R/2)² = 3R²/4

Arccos (h/R) = arcos(1/2) = 60°=

 

 

 

 

Les triangles OMO' et OM'O' sont équilatéraux MO = MO' = OO' = R;

Angle MOO' = angle MO'O = angle OMO' = 60°.

 

 

 

Deux cercles de rayon R.

Les centres sont distants d'une longueur d.

 

La figure reste symétrique et l'aire de la lentille est égale à deux fois celle du segment.

 

 

Avec h = d/2

 

 

 

Application numérique R = 5 et d = 8

avec arccos 8/10 = 0,6435 … radian

 

  

 

 

 

 

Cas général – Deux cercles quelconques

 

On ne donne pas de formule finale. En pratique, suivre les étapes de calcul.

 

Deux cercles de rayon R et R'.

Les centres sont distants d'une longueur D.

 

L'aire de la lentille est égale à la somme de deux segments.

 

 

Calcul de d et d'
en fonction de D, R et R'.

 

Calculer d, cela revient à calculer l'abscisse du pied de la hauteur PC du triangle quelconque OP0'

La loi des cosinus en général

puis, appliquée à notre cas

 

 

 

Soit la valeur de d et d'.

 

Segment – Formule générale

Dans les triangles rectangles OPC et O'PC

H² = R² – d² = R'² – d'²

Segment lié au cercle (O, R)

Segment lié au cercle (O', R')

Application numérique (voir figure)

 

R = 6,6 

R' = 4,7 

D = 8

 

d  =     5,3418750

d'  =    2,6581250

H   =    3,876128

As  =    6,637

A'S = 11.,117

AL    = 17,754

 

 

 

Cas où l'angle d'intersection est droit

 

Deux cercles de rayon R et R'.

Les centres sont distants d'une longueur D inconnue.

On sait que l'angle OPO' est droit.

 

D² = R² + R'²

 

Valeur de d et d'.

 

 

Application numérique

Avec les mêmes formules que ci-dessus

 

R  = 20

R' = 15

 

 

D =       25

d  =      16

d'  =       9

H   =     12

As  =      6,637

A'S =   65,40

AL    = 166,04

 

Vérification graphique

 

Remarquez la position des cercles pour obtenir facilement l'angle de 90° à l'intersection.

 

Le graphique donne 160 pour un calcul à 166.

 

 

 

 

 

 

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