NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/09/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	CERCLE / DISQUE
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	Lunule	Croissant	Rectangle dans cercle	Densité
		Sommaire de cette page >>> Cas simple – Deux cercles identiques >>> Cas général – Deux cercles quelconques

Deux CERCLES

Aire de la lentille d'intersection

Le cas général sera abordé après exposition de quelques cas particuliers, plus simples.

Si on connait l'aire de la lentille, on connaît, par différence, l'aire de la lunule associée.

Cas simple – Deux cercles identiques
Deux cercles de rayon R. L'un passe par le centre de l'autre. Alors: OO' = R Aire de la lentille = 2 x Aire du segment MO'M'. Aire du segment: Avec: h, la hauteur du segment = R/2 R² – h² = R² – (R/2)² = 3R²/4 Arccos (h/R) = arcos(1/2) = 60°=	Les triangles OMO' et OM'O' sont équilatéraux MO = MO' = OO' = R; Angle MOO' = angle MO'O = angle OMO' = 60°.

Deux cercles de rayon R. Les centres sont distants d'une longueur d. La figure reste symétrique et l'aire de la lentille est égale à deux fois celle du segment. Avec h = d/2

Application numérique R = 5 et d = 8 avec arccos 8/10 = 0,6435 … radian

Cas général – Deux cercles quelconques
On ne donne pas de formule finale. En pratique, suivre les étapes de calcul. Deux cercles de rayon R et R'. Les centres sont distants d'une longueur D. L'aire de la lentille est égale à la somme de deux segments.
Calcul de d et d' en fonction de D, R et R'.	Calculer d, cela revient à calculer l'abscisse du pied de la hauteur PC du triangle quelconque OP0'
La loi des cosinus en général puis, appliquée à notre cas
Soit la valeur de d et d'.
Segment – Formule générale
Dans les triangles rectangles OPC et O'PC	H² = R² – d² = R'² – d'²
Segment lié au cercle (O, R)
Segment lié au cercle (O', R')
Application numérique (voir figure) R = 6,6 R' = 4,7 D = 8	d = 5,3418750 d' = 2,6581250 H = 3,876128 As = 6,637 A'S = 11.,117 AL = 17,754

Cas où l'angle d'intersection est droit
Deux cercles de rayon R et R'. Les centres sont distants d'une longueur D inconnue. On sait que l'angle OPO' est droit.	D² = R² + R'²
Valeur de d et d'.
Application numérique Avec les mêmes formules que ci-dessus R = 20 R' = 15	D = 25 d = 16 d' = 9 H = 12 As = 6,637 A'S = 65,40 AL = 166,04
Vérification graphique Remarquez la position des cercles pour obtenir facilement l'angle de 90° à l'intersection. Le graphique donne 160 pour un calcul à 166.

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Voir	Aire du segment de parabole Bissectrices Cône Géométrie – Vocabulaire Sphère Trigonométrie
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