NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/08/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	CERCLE / DISQUE
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CROISSANT

Le croissant est la surface qui apparait lorsque deux cercles différents sont tangents intérieurement. Plus généralement: morceau de disque concave d'un côté et convexe de l'autre.

Anglais: Crescent

Les trois demi-cercles		haut
Problème (simple !) Trois demi-cercles: petit, moyen et grand. La figure doublée donne cette figure. Aire la zone bleue ? Application numérique avec le rayon du grand cercle: R = 6 cm. Piste Les diamètres successifs sont dans les rapports 1/2, 2/3 et 1. La figure de droite montre l'astuce pour faciliter le calcul: translater les demi-cercles du bas.
Calcul

Voir Défis géométriques

Croissant
Deux cercles (O, R) et (O', r), tangents en B. La partie bleue constitue le croissant. Son aire est la différence des aires des deux disques. A = R² – r² = (R² – r²)

Centre de gravité

Un problème consiste à trouver la valeur du ratio r/R tel que l'aire du croissant à la gauche de MM' soit égale à celle de la partie droite du croissant. La portion de cercle MAM' est segment de cercle dont l'aire vaut: = ½ R² ( – sin ) Calcul de l'angle alpha dans le triangle rectangle MCO: cos /2 = h / R = (2r – R) / R Application numérique Avec R = 1 et r de 0 à 1 en abscisse. Pour r = 0,6943239332500 … la partie gauche du croissant à la même aire que la partie droite. Dans cette configuration C est le centre de gravité du croissant. Note Le centre de gravité est à 0,694 … Certains ouvrages l'estime à 0,618 … l'inverse du nombre d'or Les aires pour cette valeur sont en fait: r = 0,618033988 A = 1,941611038 A1 = 1,103082983 A2 = 0,838528055 Écart = 0,264554927

Croissant avec trois cercles
Problème Trois cercles de rayon 1, 2 et 3 selon la figure. Quelle est l'aire du "croissant" vert? Et celle de la zone bleue? Solution Si l'aire du disque de rayon 1 vaut 1 unité d'aire. L'aire du disque de rayon 2 (A) est quatre fois plus grande (l'aire croît comme le carré du rayon). Et l'aire du grand disque vaut 9. Selon la géométrie du dessin les aires B et C sont égale. En remplaçant, nous trouvons que l'aire de B ou de C = 2. Verte et bleue: l'une est le double de l'autre en superficie. Aire bleue = 2 x Aire verte.		A = 4 Aire grand disque = 1 + A + B + C = 9 = 1 + 4 + 2B = 9 2B = 4 B = C = 2 Aire de zone verte: 1 + C = 1 + 2 = 3 Aire de zone bleue: A + B = 4 + 2 = 6
Formules générales

Arbelos avec trois cercles
Problème Trois cercles disposés comme sur la figure. La zone verte est appelée arbelos (ou tranchet de cordonnier). Quelle est son aire? Archimède a montré qu'elle est égale à celle du disque de diamètre h. Solution L'astuce repose sur la relation à établir dans le triangle rectangle ADB. En effet, on sait que: h² = ab En remplaçant ab pas h² dans l'évaluation de l'aire de l'arbelos, on retrouve l'aire du disque de diamètre CD. Attention L'aire d'un disque est R² = D². Il existe deux arbelos: en haut et en bas, d'où la division par 2.	Aire disque AC = a² Aire disque CB = b² Aire disque AB = (a+b)² Aire arbelos: = {(a+b)²-a²-b²} = ab = h² = aire disque CD

Voir Arbelos multiple résolu par inversion – Chaine de Pappus / Sangakus

Cercles jumeaux d'Archimède / Aire de découpes dans le cercle

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Voir	Géométrie – Vocabulaire Bissectrices Sphère Cône Lune
Sites	L'arbelos – Hamza Khelif – CNRS Une étude de l'arbelos – Baptiste GORIN
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/aaaAIRE/Croissan.htm