NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Trigonométrie

 

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Trigonométrie

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Angles multiples

Addition d'angles

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Calculs particuliers

 

Sommaire de cette page

>>> Angle moitié

>>> Angle    double

>>> Angle         triple

>>> Angles multiples – Formules en produit

 

 

 

 

 

IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES

Angles moitiés, doubles, triples

 

Attention aux cas des angles pour lesquels on trouvera une fraction avec un dénominateur nul. Exemple pour tan (Pi/2) = 1/0,  division par 0 impossible.

 

 

Angle moitié

Sinus

2 sin² A/2

= 1 – cos A

sin A/2

=-sin (-A/2)

Avec S = signe de:

sin A

sin A/2

sin A/2

sin(A+ B)

 

Cosinus

2 cos² A/2

= 1 + cos A

cos A/2

= cos (-A/2)

cos A

cos A/2

cos (A + B)

 

Tangente

tan A/2

=-tan (-A/2)

 

= cosec A – cot A

tan A

 

tan² A/2

= (1 – cos A) / (1 + cos A)

 

Pour les angles de 0 à Pi

et

avec  t = tan (A/2)

sin(A)

cos(A)

tan(A)

 

 

 Cotangente

cot A/2

=-cot (-A/2)

= cosec A + cot A

 

Autres

= sec A + tan A

Voir Exemple d'applications (calcul de sinus Pi/8)

 

 

 

Angle double

 Sinus

sin (2A)

= - sin(2A)

= 2 sin A . cos A

 

2 sin² A

= 1 – cos 2A

1 + sin 2A

= (cos A + sin A)2

1 – sin 2A

= (cos A - sin A)2    >>>

 Cosinus

cos (2A)

= cos(-2A)

= cos² A – sin² A

= 1 – 2 sin² A = 2 cos² A – 1

À noter

sin² A + cos² A

sin² A – cos² A

= 1

= – cos 2A      

 

2 cos² A

cos A

= 1 + cos 2A

= ½  (2 cos (2A) + 2) >>>

 

 Tangente

tan (2A)

=- tan(-2A)

tan A

Cotangente

cot (2A)

= - cot(-2A)

 

Sécante

sec (2A)

= sec(-2A)

Cosécante

csc 2A

= -csc (-2A)

Voir Caractérisation du triangle isocèle

 

Angle Triple

 Sinus

sin (3A)

=     3 sin A  – 4 sin3 A

= 4 sin A . cos² A – sin A

Voir Démo

Voir Démo

 Cosinus

cos (3A)

=  – 3 cos A + 4 cos3 A

 Tangente

tan (3A)

tan (3A)

= tan(60 – A) . tan(A) . tan(60 + A)

tan (10°)

tan (80°)

= tan (20°) . tan (30°) . tan (40°)

= tan (70°) . tan (60°) . tan (50°)

Cotangente

cot (3A)

Sécante

sec (3A)

Cosécante

csc (3A)

 

Suite Angles Multiples >>>

 

 Angles multiples – Formules en produit

 

 

Cas où x = Pi/3

 

Voir Calculs avec ces formules

 

 

 

 

Bases

*    Trigonométrie – Débutant

*    Trigonométrie – Tables

*    Relations dans le triangle quelconque

*    Relations dans le triangle rectangle

Suite

*   Addition d'angles

*    Angle multiple 

*    Puissances

Voir

*    Angles et informations concernant un angle particulier

*    Faire le tour du cercle (relations de base)

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Calculs en trigonométrie (simples)

*    Calculs en trigonométrie (avancés)

*    FormulairesIndex

*    Linéarisation: puissances des fonctions trigonométriques

*    Relations trigonométriques dans le triangle quelconque

Aussi

*    Triangle

*    Pentagone

*    Identités remarquables

Sites

*      Identité trigonométrique – Wikipédia

*      List of trigonometric identities – Wikipedia

*      Proofs of trigonometric identities – Wikipedia

*      Trigonométrie circulaire – Jean-Louis Rouget – les formuels du lycée à savoir pour aborder le supérieur.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Trigonom/aaaBases/Relkfois.htm