NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 28/11/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Les INFINITÉSIMAUX

Des infiniment grands et infiniment petits dont la découverte à permis les calculs des dérivées et des intégrales.

Mais, ils ne vont tenir le choc face aux développements des ordinateurs: il faudra utiliser l'analyse non-standard.

Voir en introduction: Achille et la tortue

LES INFINITÉSIMAUX
Historique
230 av-J.-C.	Archimède	Calcul du volume de la pyramide ou de la sphère en empilant des tranches.
1635	Cavalieri	Géométrie des invisibles. Solide = Somme de morceaux de surface planes. Volume = Somme des aires de ces sections planes.
1690-91	Bernoulli	Travaux sur la chainette, le calcul exponentiel.
Théorème de Dupin		Deux solides S et S'. Si chaque plan horizontal découpe des aires égales, les volumes de ces deux solides sont égaux.
1638	Pascal	Calcul de volumes complexes par extrapolation de cette méthode.
Paradoxe		Volume = somme d'aires: ça n'est pas homogène !
1656	Wallis	Arithmetica Infinitum: il reprend les méthodes d'analyse de Descartes et Cavalieri et les améliorant. Il développe le calcul d'aires sous une courbe (calcul intégral)
1680	Leibniz	Résout ce paradoxe. Introduit le dx et une nouvelle notation.
	Pascal	Fait le même raisonnement et applique cette méthode aux problèmes de physique et d'hydrodynamisme.

Intégrale

y ordonnée.

x abscisse.

dx largeur d'un rectangle très fin de longueur y.

intégrale de - (déformation du s de somme).

Ce qui se lit: L'aire totale est égale à la somme de toutes les petites aires y.dx des petits rectangles élémentaires.

CALCUL INTÉGRAL ET DIFFÉRENTIEL

Avec Pascal et Leibniz, c'est l'origine du calcul intégral (notion de primitive) et sa réciproque le calcul différentiel (notion de dérivée). Deux exemples: Cas de l'hydrodynamique E est l'énergie du fluide, dv un élément de volume et p la pression. L'énergie E du fluide est la somme des contributions des petits éléments de volume dv où règne la pression p . La pression en un point est le quotient de l'énergie dE d'une petite cellule (en ce point) par son volume dv.

DÉFINITION DE L'INFINITÉSIMAL
Historique (suite)
1730	George Berkeley (évêque)	Remarque que l'homogénéité locale qui est supposée dans le calcul se situe à une échelle intermédiaire entre l'échelle humaine et l'échelle atomique. Pourquoi les choses seraient forcément les mêmes le long de ces échelles. Voir la surprise des figures fractales!
Paradoxe		La division dy / dx est, en fait, voisine de 0 / 0. Cette division n'a pas de sens en mathématique; elle donne n'importe quoi. La quantité infinitésimale est à la fois nulle et non nulle.
Définition de l'infinitésimal
	Niels Abel	Est infinitésimale toute quantité plus petite que toute quantité donnée à l'avance.
	Newton	C'est une quantité variable qui tend à disparaître.
	D'Alembert	Il s'élève contre l'existence de quantités infiniment petites. Il préfère calculer la limite d'un rapport.
XIX^e	Cauchy Abel Dirichlet Riemann Cantor etc.	Ils travaillent tous cette notion pour essayer d'en trouver une définition rigoureuse.
1860	Karl Weierstrass	Formule la définition encore enseignée aujourd'hui. Calcul des inégalités très précises, où on évalue la variabilité de certaines quantités en fonction de celle d'autres. Exemple: "De combien varie le carré d'un nombre en fonction de la variation de ce nombre".

Suite	Dérivées Calcul des factorielles généralisées par sommes infinies Calcul par tranches de l'aire de la sphère L'analyse non-standard Nombres duaux
Voir	Analyse - Glossaire Analyse de Fourrier Calcul des variations - isopérimètres Dérivées Intégration – Primitives Intégrale – Approche avec 1/x Liouville Nombre e Nombre imaginaires Nombre Pi Nombres Périodiques Riemann Types de nombres selon leurs diviseurs Volume du tétraèdre et autres
Livre	Cette page a été constituée notamment d'après Pierre Cartier - Larousse Année 1994
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/Infinite.htm