Transformée et séries de Fourier

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FFT: le prisme mathématique de la dispersion des ondes

SÉRIE DE FOURIER

TRANSFORMÉE DE FOURIER

Outil pratique qui permet de faire des calculs sur des fonctions bizarroïdes, mais répétitives. Celles-ci sont transformées en sommes de fonctions périodiques (sinus et cosinus) plus simples.

Dans un mémoire daté de 1807, Joseph FOURIER, mathématicien français, affirma, qu’il était possible, dans certaines conditions, de décomposer une fonction périodique sous la forme d’une somme infinie de signaux sinusoïdaux.

Il est plus facile de connaître les propriétés de la fonction en analysant les propriétés de chacune des composantes.

Encore une histoire de changement de monde permettant d'aborder un problème plus simplement…

Anglais : Fourier Series / Fourier Transform

Des formes d'ondes très différentes

Seule la forme sinusoïdale peut être représentée sous la forme d'une fonction: y = a. sin ( x )

Ce n'est pas possible (simplement) pour les autres (quoique!). Les transformées de Fourier le permettent. Ce sont des suites infinies de fonctions sinusoïdales qui sommées, tendent vers la fonction à définir.

Voir Ondes

Addition de sinusoïdes
En haut le graphe de quatre sinusoïdes: sin( x) en rouge, 0,8 sin (2x) en vert, 0,4 sin (3x) en jaune, et 0,2 sin (7x) en bleu. En bas, en rouge, la somme de ces quatre courbes. En ajoutant des sinusoïdes et en ajustant leur amplitude, leur fréquence, et leur phase il est possible d'obtenir une approximation d'une onde quelconque.
Effet de la phase Tous les paramètres sont ceux vus ci-dessus sauf pour la deuxième courbe en 2x qui devient: 0,8 sin (2x + pi/2) Soit un déphasage d'un quart de tour (Pi/2).

Créneaux définis par séries de Fourier

Succession de superpositions de sinusoïdes qui forme un signal se rapprochant d'un créneau.

Inversement un créneau peut être décrit par les coefficients de ces fonctions sinus ou cosinus.

Conclusion

En continuant à ajouter des fonctions cosinus, et

Avec les coefficients impairs successifs,

Alternativement négatifs et positifs,

On se rapproche de plus en plus de la fonction en créneau.

Autres exemples

Exemple de ligne brisée avec seulement cinq termes:

HISTORIQUE

Fourier (1768-1830) est connu pour ses travaux sur la chaleur.

Il met au point une modélisation à base d'équations faisant intervenir des dérivées, et il trouve une manière générale de la résoudre.

Cette méthode est si générale qu'elle devient cet outil formidable qu'est

La transformée de Fourier.

Et, plus récemment, avec les besoins des ordinateurs:

La transformée de Fourier rapide

FFT: Fast Fourier Transform.

Ce que disait Fourier

Ce mouvement peut toujours être décomposé en plusieurs autres dont chacun s'accomplit comme s'il avait lieu seul. Cette superposition des effets simples est un des éléments fondamentaux de la théorie de la chaleur.

Cette remarque est essentielle, en ce qu'elle conduit à connaître comment les fonctions entièrement arbitraires peuvent ainsi être développées en séries de sinus d'arc multiples.

Biblio très complète sur ce sujet : Fourier - Créateur de la physique mathématique

THÉORIE – Série de Fourier
Soit une fonction périodique *f(x)*		f(x) =
Elle peut être développée en série de Fourier. Elle comporte trois éléments:	Un terme constant a₀, appelé composante continue.	a₀
	Une composante fondamentale caractérisée par les valeurs de a₁ et b₁.	+ a₁cos x + b₁sin x
	Des harmoniques (multiples de la fréquence fondamentale) caractérisées par les valeurs des autres coefficients de Fourier: a_n et b_n.	+ a₂cos 2x + b₂sin 2x +… + a_ncos (n.x) + b_nsin (n.x) +…

Coefficients de Fourier

qui se prêteraient bien à une interprétation en nombres complexes.

L'outil correspondant est appelé transformée de Fourier:

Détermination des coefficients;

Formule d'Euler – Fourier;

Dans l'intervalle .

a_netb_n nombres réels

c_n = a_ne+ i .b_n

DROITE en Fourier
Fonction	f(x) = x dans l'intervalle:
Détermination des coefficients	Le calcul est donné à titre indicatif; il dépasse de loin le cadre de ce site.
Soit	x = 2 sinx – sin2x + 2/3 sin3x – 1/2 sin4x + …

Illustration selon la quantité de coefficients

Bilan

La transformée de Fourier est un bon outil pour tous ceux qui ont à traiter des signaux périodiques, ou des fonctions intégrables. Elle décompose celles-ci en leur spectre de fréquences élémentaires. Les coefficients obtenus sont appelés séries de Fourier.

L'étude des fonctions par cette méthode s'appelle l'analyse harmonique. Une façon de décrire les fonctions périodiques. La fonction est:

décomposable en suite de ses coefficients de Fourier (analyse); ou

reconstruite à l'aide de la suite de ses coefficients (synthèse).

Cet outil, y compris la transformée de Fourier rapide (FFT), sont utilisés en traitement du signal: radar, sonar, communication, analyse d'images … L'analyse de spectre en radar ou en sonar est l'outil principal de la classification qui permet l'identification d'un contact par sa signature spectrale (sorte d'empreintes digitales).

Voir Spectre

ENGLISH CORNER

Joseph Fourier (1768-1830), introduced the concept of Fourier series in his major work on the mathematical theory of heat conduction: The Analytic Theory of Heat. He established the partial differential equation governing heat diffusion and solved it using an infinite series of trigonometric (sine and cosine) functions.

Suite	Compression d'information Conjecture de Goldbach Joseph Fourier Les 17 équations qui ont changé le monde Nombres complexes Ondelettes Trigonométrie
Voir	Constantes Mathématiques Exposants – Index Exposants et puissances Nombres complexes Ondes et harmoniques Série de Wallis Théorie des nombres
Site	Séries de Fourier et applications – Prend très naturellement la suite de cette page pour ceux qui veulent entrer dans la théorie avec des explications claires.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/Fourier.htm

Fonction dents de scie

Il est vrai qu'il est possible, néanmoins, de définir certaines fonctions relativement simplement. Voici la représentation de la dent de scie: