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BRÈVES de MATHS – Page 32

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

620. Magie – Devinez deux nombres
Extension aux nombres à deux chiffres en multipliant par 100.
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Pour en savoir plus	>>> Les quatre opérations	>>> Magie – Index

621. Magie – Danemark
Le tour		Exemple
Prendre un nombre quelconque. Multiplier par 9. Retirer 5. Ajouter les chiffres. Recommencer pour obtenir un seul chiffre.				123 456 1 111 104 1 111 099 1+1+1+1+9+9 = 22 2 + 2 + 4
Associer ce chiffre à la lettre correspondante dans l'alphabet. Trouvez un pays d'Europe commençant par cette lettre. Sans que tu me dises quoi que ce soit Je suis capable de donner un fruit dont le nom commence par la dernière lettre du pays.				4 => A, B, C, D Danemark Seul pays avec D K = kiwi Seul fruit avec K
Vous aurez retenu la propriété de la preuve par 9. Le nombre multiplié par 9 donnera un nombre dont la somme des chiffres sera divisible par 9. En retranchant 5, nous aurons toujours le nombre 4 comme résultat. Le tour n'est faisable qu'une seule fois !
Brèves associées	>>> Deviner quatre nombres consécutifs		>>> Brèves Magie – Index
Pour en savoir plus	>>> Preuve par neuf		>>> Magie – Index

622. Pavage et Fibonacci
La suite de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … Chacun est la somme des deux précédents. Une utilisation des nombres de Fibonacci: pavage sur une longueur n avec des dalles carrées (1x1) ou rectangulaire (1x2). La quantité de possibilités pour n donné est le nombre F_n de Fibonacci.
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Pour en savoir plus	>>> Suite de Fibonacci	>>> Pavage dominos

623. Fibonacci et nombre d'or
Propriété Le rapport entre deux nombres de Fibonacci successifs tend vers le nombre d'or lorsque ces nombres tendent vers l'infini. Explications Prenons trois nombres de Fibonacci successifs comme 3, 5 et 8 et leurs deux rapports: 5/3 = 1,666… et 8/5 = 1,6. Ces deux rapports sont décroissants et cette propriété est valable pour la suite de Fibonacci. On a ainsi deux rapports tels que a/b < c/d. Dans ce cas, on sait trouver une fraction médiane: Convergence Progressivement, la fraction médiane est enfermée dans un intervalle qui se réduit. Elle converge vers 1, 618 …, le nombre d'or. Le tableau montre (code couleur) la naissance et la destinée de chacun des rapports. Une fraction naissante (au centre) devient soit la plus petite des deux lignes suivantes ou la plus grande.
Brèves associées	>>> Les nombre k-bonacci	>>> Brèves Suites – Index
Pour en savoir plus	>>> Fibonacci et nombre d'or	>>> Fraction médiane

624. Racine carrée de puissances
Résultat peu intuitif pour ce calcul de la racine d'un nombre à une puissance. En fait, la racine carrée est équivalente à une puissance 1/2. Il suffit donc de diviser l'exposant par 2.
Brèves associées	>>> Puissances négatives	>>> Brèves Puissances – Index
Pour en savoir plus	>>> Puissances fractionnaires	>>> Puissances – Index

625. Nombre plastique (Padovan)
Une constante qui est l'unique racine réelle de cette équation du troisième degré. Cousin du nombre d'or. Rapport de convergence de la suite de Padovan cousine de la suite de Fibonacci.		= 1,324717957244746026…
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Pour en savoir plus	>>> Nombres plastiques		>>> Suite de Fibonacci et nombre d'or

626. Nombre d'ACHILLE
Nombres d’Achille Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puissants, mais pas puissance parfaite. Nom donné par Henry Bottomley. Nombre dont deux facteurs au moins ont des exposants différents supérieurs à 1. Un nombre puissant (ou plénipotent), non puissance parfaite, est un nombre d’Achille.		Nombres d'Achille – Deux exemples Puissants parfaits, mais pas Achille 36 = 2² x 3² = 6² 216 = 2³ x 3³ = 6³
Brèves associées	>>> Nombres carrés		>>> Brèves Types de nombres – Index
Pour en savoir plus	>>> Nombres d'Achille >>> Nombres puissants		>>> Puissance parfaite >>> Facteurs des nombres

627. Calcul avec radicaux
But Résoudre cette équation avec des 1/2 et l'inconnue en exposant. Possible ? Commentaires du tableau de résolution D'abord les quatre fois 1/2 font 2. Cette écriture est présente pour un simple effet esthétique. Tout comme la puissance 1/2 qui est en fait une autre manière de noter la racine carrée. En remplaçant 16 par 2⁴, on met en évidence un 2 à une puissance de chaque côté. Même si l'égalité semble évidente, passons par les logarithmes pour confirmer. L'exposant 'une puissance devient un coefficient. En divisant par ln(2), non nul, on retrouve bien ce qui semblait évident. Une élévation au carré termine le calcul en révélant que x = 16.			Résolution de l'équation En effet: Seul cas de k puissance racine de x = x (sauf cas trivial avec 1)
Brèves associées	>>> Racine cubique – Deux chiffres	>>> Brèves Calculs – Index
Pour en savoir plus	>>> Racines carrées	>>> Équations

628. Équation en racine cubique
But Résoudre cette équation avec ces deux racines cubiques bien encombrantes. Commentaires du tableau de résolution S'il s'agit d'un exercice scolaire, il y a une grande probabilité que l'expression sous radical soit un cube. Sinon la résolution est particulièrement ardue. On cherche les coefficients d'un expression telle que: On note que a³ ne peut pas dépasser 6, soit a = 1. On essaie b = 1 et ça marche !		Résolution de l'équation
Brèves associées	>>> Racine cubique – Calcul mental		>>> Brèves Calculs – Index
Pour en savoir plus	>>> Équations avec racines cubiques		>>> Racines continues

629. Carré et deux cercles
Problème Quel est le côté du plus grand carré recouvert entièrement par deux cercles de rayon unité. Solution Le cercle 1 passe par A et D. Le cercle 2 passe par B et C. Les deux cercles sont interchangeables. La figure est symétrique. Les deux cercles passent par E et F, les milieux de AB et DC. Dans le triangle rectangle BCE inscrit dans le cercle, BE est un diamètre. Avec le théorème de Pythagore: BE² = 2² = BC² + CE² = c² + (1/2 c)² = 5/4 c²		Carré le plus grand couvert par deux cercles identiques de rayon R. Son côté vaut 1,78 R.
Brèves associées	>>> Carré et deux triangles équilatéraux		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Carré max couvert par k cercles		>>> Cercles – Index

630. Carrés et quatre cercles

Problème

Quelle est la longueur du côté du petit carré vert ?

C'est aussi le diamètre du cercle interne, tangent aux quatre cercles.

Solution

Avec C = côté du grand carré et c pour le petit.
R est le rayon des cercles.

La figure de droite, avec le triangle isocèle rectangle en vert, montre que:

(2R)² + (2R)²	=	(2R + c)²
	=	2R + c
2R	=
	=
c	=
c	=	0,207106… C

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Pour en savoir plus

>>> Sangakus

>>> Carrés – Index

631. Périmètre inconnu

Énigme

Quatre villes. Curieusement, on connait les distances:

Paris-Lyon-Marseille-Nantes: 1 680 km

Lyon-Marseille-Nantes-Paris: 1 683 km

Marseille-Nantes-Paris- Lyon: 1 750 km

Nantes-Paris- Lyon-Marseille: 1 079 km

Quelle est la distance pour faire le tour complet ?
Autrement-dit, le périmètre du quadrilatère.

Solution (p = Paris-Lyon, l = Lyon-Paris, …)

La somme des quatre trajets proposés correspond à trois fois le tour complet comme le montre ce tableau.

p	+ l	+ m		= 1 680
	+ l	+ m	+ n	= 1 683
p		+ m	+ n	= 1 750
p	+ l		+ n	= 1 079
3p	+ 3l	+ 3m	+ 3n	= 6 192
p	+ l	+ m	+ n	= 2 064

Plan

Bonus: calcul des distances entre villes

Quatre équations pour quatre inconnues: il est possible de retrouver la distance entre villes (distances réelles).

p = 381, l = 314, m = 985 et n = 384.

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Pour en savoir plus

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632. Sous-ensembles de [1,2,3,4]
Il existe 73 façons de créer des sous-ensembles ordonnés de l'ensemble [1, 2, 3, 4] . d'abord, il y a 24 (= 4!) façons de permuter l'ensemble [1, 2, 3, 4]; puis séparation en deux sous-ensembles de taille 3 et 1 avec 6 permutations de celui à trois éléments et quatre possibilités pour le nombre isolé; avec la séparation (2, 2) on a: (12,34), (12,43), (13, 24), (13,42), (14, 23), (14, 32) et les six identiques en inversant les deux premiers nombres; vient le partage en 3 avec 12 possibilités; et enfin, le partage en 4 avec une seule possibilité. Les sous-ensembles sont interchangeables: 1, 2, 3, 4 est équivalent à 2, 1, 3, 4.			73 sous-ensembles ordonnés avec [1, 2, 3, 4] Il en 501 pour [1, 2, 3, 4, 5].
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633. Théorème du face à face
Deux cercles quelconques (bleus). Les tangentes issues du centre des cercles (vertes). Les cordes (roses) sont égales. Le quadrilatère ayant ces cordes pour côtés est un rectangle. *La figure ressemble à deux yeux qui se font face. D'où le nom en anglais: eyeball theorem, pour théorème des globes oculaires ou théorème des quinquets.*
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634. Nombres de Kaprekar

Définition

Un nombre de Kaprekar de n chiffres est tel que les chiffres de sa puissance k peuvent être partagés en k nombres de n chiffres, et la somme de ces nombres est égale au nombre initial.

Exemples

Multi-Kaprekar (rare)

Le nombre 45 est Kaprekar d'ordre 2, 3 et 4:

45² = 20 25

45³ = 91 125
45⁴ = 4 100 625

45 = 20 + 25

45 = 9 + 11 + 25
45 = 4 + 10 + 06 + 25

Tous les repdigits en 9 sont Kaprekar d'ordre 2.
Les nombres en 3 et 6 ont leurs sommes correspondantes en 9.

99² = 98 01

99 = 98 + 01

66² = 43 56

99 = 43 + 56

33² = 10 89

99 = 10 + 89

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Pour en savoir plus

>>> Nombres de Kaprekar

>>> Nombres de Kaprekar – Tables

>>> Nombre 45

>>> Nombre 99

635. Nombre 39
Le nombre 39 est égal au produit de ses chiffres ajouté à la somme de ses chiffres, comme tous les nombres à deux chiffres terminés par 9. Propriété évidente en décomposant:		Le nombre 39 et son penchant pour le nombre 3 La barre au-dessus des nombres indique que ces nombres sont concaténés.
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Pour en savoir plus	>>> Nombre 39 dans le DicoNombre >>> Nombres somme-produit		>>> DicoNombre

636. Compter les chiffres
Comment lire le tableau Il y a, par exemple, 21 fois le chiffre 1 pour écrire tous les nombres de 1 à 100. Un livre de 162 pages utilise 100 fois le chiffre 1 pour sa pagination.		Jusqu'à 10, il y a les nombres 1 et 10, ce qui totalise deux fois le 1; et, une seule fois le 0. Pour écrire 10 fois le 1, il faut tous les nombres de 1 à 17.
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Pour en savoir plus	>>> Compter les chiffres jusqu'à n		>>> Chiffres – Index

637. Puissance des puissances de 2
Formation des puissances Amusement avec les chiffres des puissances de 2. Quelles sont les autres puissances que l'on peut former avec ces chiffres. Exemple Le bicarré de 7 est formé des mêmes chiffres que la puissance dixième de 2. On peut former 16 ( = 2⁴) puissances avec les chiffres de 2¹⁴.
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Pour en savoir plus	>>> Chiffres des puissances de 2	>>> Puissances de 2

638. Pourquoi: 0,999… = 1

Une affaire d'infini

Ayant un nombre décimal comme 0,111, il est toujours possible de trouver un nombre plus grand comme 0,112, ou même beaucoup comme 0,1111 ou 0,11111111.

Non, ce n'est pas toujours possible !

Prenez le nombre 0,999, alors 0,99999999 est plus grand. D'accord !

Mais s'il y a une infinité de 9, on a: 0, 9999 … (infinité). Et là, impossible d'y loger une 9 supplémentaire. Bien obligé de passer à 1.

Dit-autrement, il n'y a aucun nombre entre 0,999… et 1, c'est donc que ces deux nombres sont deux écritures différentes du même nombre.

Constat 1

*Soit*	1 / 3	=	0,333…
*Mult. par 3*	3 / 3 = 1	=	0,999 …

Constat 2

*Soit*	1 / 9	=	0,111 …
*Suivant*	2 / 9	=	0,222 …
	…
*Finalement*	9 / 9 = 1	=	0,999 …

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>>> Nombre 0,0097… = 1/103

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Pour en savoir plus

>>> Nombre 0,999… = 1

>>> Nombre 0,999…

>>> Nombre 1

639. Quantité de premiers
Compter les nombres premiers La fonction Pi(n) indique quelle est la quantité de nombre premiers inférieure à n, ce nombre compris. Ainsi, en comptant les nombres premiers jusqu'à 10, on trouve: 2, 3, 5, 7 et P1(10) vaut 4. Il est possible de les compter rigoureusement jusqu'à une certaine limite. Ensuite, la quantité est estimée avec Pi(n) proche de n / ln(n). Curiosité unique		Exemple avec le nombre 100 100 est le vingt-cinquième nombre premier, et 541 est le centième.
Brèves associées	>>> Nombre 0,0097… = 1/103		>>> Brèves Premiers – Index
Pour en savoir plus	>>> Quantité de nombres premiers		>>> Nombre 100

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620. Magie – Devinez deux nombres

621. Magie – Danemark

622. Pavage et Fibonacci

623. Fibonacci et nombre d'or

624. Racine carrée de puissances

625. Nombre plastique (Padovan)

626. Nombre d'ACHILLE

627. Calcul avec radicaux

628. Équation en racine cubique

629. Carré et deux cercles

630. Carrés et quatre cercles

631. Périmètre inconnu

632. Sous-ensembles de [1,2,3,4]

633. Théorème du face à face

634. Nombres de Kaprekar

635. Nombre 39

636. Compter les chiffres

637. Puissance des puissances de 2

638. Pourquoi: 0,999… = 1

639. Quantité de premiers