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ELLIPSE L'ellipse est l'une des
trois coniques. Un cercle aplati qui partage de
nombreuses similitudes mathématiques avec lui, mais qui s'évade vite vers la
complexité de calcul. La trajectoire des planètes autour de leur étoile est une
ellipse. Les trois lois de Kepler
modélisent leur orbite. Aire et périmètre de l'ellipse en
fonction du grand axe et du petit axe Développements
>>> |
A)
Construire (règle et compas) le centre de l'ellipse
connaissant son tracé
En vert pointillé: construction de la médiatrice.
Voir Centre
du cercle / Constructions
élémentaires
B)
Construire les deux axes connaissant le centre
C)
Construire les deux foyers de l'ellipse connaissant les deux axes
Voir Autres
constructions avec l'ellipse / Constructions
géométriques – Index
Merci à Patrick Herrmann
pour sa relecture attentive
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ELLIPSE
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OVALE
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Voir Ovale / Historique
avec Dürer et Kepler
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Voir Cercle et ellipse du jardinier
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Voir Spirale du jardinier / Équerre du jardinier / Construction de l'ellipse
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MA + MB = 2a
Voir Explications
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Effet de l'un des paramètres a et b:
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Effet de la constante c:
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Équation
cartésienne de l'ellipse centrée en E (c, d) et demi-axes a et b |
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Demi-distance focale: OF = OF' = c |
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Point P
sur l'ellipse |
PF + PF' = 2a |
Excentricité |
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Pente de
la tangente en P(xp, yp) |
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Pente de
la normale en P(xp, yp) Voir Application |
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Tangente
passant un point M (xm, ym) extérieur à l'ellipse. Les pentes p sont solutions de l'équation: |
(a² – xm)p² + 2·xm·ym·p + (b² – ym²) = 0 |
Équations
paramétriques |
x = a cos(t) y = b sin (t) |
Axes
obliques aux axes du repère |
x = a cos(t) y = b sin (t + φ) |
Équation
polaire |
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Une
ellipse gonflée ou ovale. En
rouge k = 2 (ellipse) En
vert k = 2,5, et En
jaune k = 3. |
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Voir Équation
des formes ovales
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La constante e est l'excentricité. Pour l'ellipse: 0 < e
< 1. |
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Opération |
Formulation |
Exemple
numérique |
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BF + BF' = 2a BF = BF' = a |
BF = a = 6 |
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c² =
a² – b² |
c² = 36 – 16 = 20 c = 4, 47 |
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Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 |
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Paramètres de l'ellipse
Encadrement du périmètre (et exemple avec a = 6
et b = 4) Méthode des cercles
équivalents de circonférence Kepler
(1571-1630) utilisait un cercle équivalent tel que:
En 1883, Thomas Muir
(1844-1934) donne cette formule qui améliore nettement le résultat: Formules plus précises
et explications sur le périmètre de l'ellipse >>> |
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Soit une
ellipse avec ses foyers en (-10, +10) et ses demi-axes Comment construire le carré
inscriptible dans l'ellipse ? Par le calcul du côté du carré. |
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Ellipse Son
équation: Aire de l'ellipse |
Côté du carré Le point M à la fois sur l'ellipse et sommet du carré est tel que x = y Aire du carré (= 4 x²) |
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Le volume d'un cône droit de base elliptique est égal à: Voir Volume du cône / Cône elliptique –
Développements |
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Exemple Un
tas de terre se trouve dans l'angle d'un mur rectangulaire. Cette terre ayant
été déversée depuis l'angle supérieur du coin des deux murs, elle s'est
répandue assez régulièrement en un tas de forme plus ou moins conique. |
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Calcul de tête |
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Calcul de la formule Équation
du cône avec origine au sommet. Pour |
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Volume
du cône Le
calcul de cette intégrale
triple avec ces paramètres (pas simple) donne bien la formule indiquée. |
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Anglais: how to find the volume for a right elliptical cone?
Demi-grand axe et demi-petit axe: semi major axis
and semi minor axis
Anecdote suite à une pluie torrentielle survenue en janvier 2014
J'ai
eu à effectuer ce calcul de volume suite à un éboulement de terre de 40 m3
en provenance de la propriété voisine située au-dessus de la mienne. La
majorité de cette terre s'est déversée dans le coin muré de mon jardin. |
Suite |
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Voir |
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Sites |
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Cette
page |
http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Coniques/Ellipse.htm |