NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

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Calculs – Cône

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Équations

Cône elliptique

 

Sommaire de cette page

>>> Volume du cône elliptique

>>> Tronc d'ellipse ou volume entre ellipses

>>> Volume du tronc de cône elliptique

 

 

 

 

Cône et tronc de cône ELLIPTIQUE

 

Il s'agit ici de cône dont la surface de base est une ellipse. Le cône peut être quelconque ou droit (le sommet est situé sur la perpendiculaire levée au centre de l'ellipse).

On connait simplement le volume du tronc d'ellipse classique. Par contre, le cas du volume compris entre deux ellipses quelconques est plus difficile à résoudre.

Voir Exemple pratique du tas de terre

 

 

 

Volume du cône elliptique (droit ou non)

Comme toutes les pyramides, le volume est égal au tiers du produit de la hauteur par l'aire de la base.

L'aire de l'ellipse est connue en fonction des deux demi-axes a et b.

 

 

Tronc d'ellipse ou volume entre ellipses

Dans le cas du "tronc" d'ellipse deux cas se présentent:

*      Cas classique: Le tronc de cône elliptique classique consiste à prélever le volume compris entre deux plans parallèles à partir d'un unique cône elliptique. Les deux sections elliptiques sont alors similaires; les deux axes sont proportionnels.

*      Cas quelconque: volume compris entre deux ellipses de grands axes et petits axes non proportionnels. Pas de prolongement vers un sommet unique. Pensez, par exemple, à un récipient à base circulaire s'évasant en ellipse (illustration)

 

 

Volume du tronc de cône elliptique

 

Le tronc de cône résulte de la suppression d'un petit cône chapeau à partir d'un grand cône. Les deux ellipses sont dans des plans parallèles.

Alors les longueurs des axes sont proportionnelles:

Également, relation de proportionnalité avec les aires et le carré des altitudes des ellipses:

 

Volume du grand cône elliptique:

Volume du petit cône elliptique:

Volume du tronc de cône elliptique:

En reprenant l'expression des aires en fonction de k :

En factorisant :

Hauteur du tronc de cône:

En remplaçant k par ses valeurs respectives:

Voir Moyenne héronienne

 

 

 

Volume entre elliptiques parallèles

La formule en moyenne héronienne n'est pas valable pour deux surfaces non similaires (qui ne résultent pas de la section par deux parallèles d'un même solide (pyramide ou cône).

Un calcul par intégrales avec mise en équation des deux surfaces est nécessaire.

Cas concret (avec approximations)

Dans le cas de deux ellipses parallèles, comment approximer le volume ?

Exemple de calcul de la capacité d'un bidon qui correspond à un quart de cette forme elliptique.

Données (en m)

R1 = 0,7; R2 = 0,6

r1 = 0,6; r2 = 0,35

h = 1,9

Les proportions sont vraiment différentes (non proportionnelles).

r1 / R1 = 0,857…

r2 / R2 = 0,583…

Calcul 1

Comme s'il s'agissait d'un tronc de cône.

Ab = 1,319…

Ah = 0,659…

V = 1,844… m3

Calcul 2

On conserve trois valeurs et on déduit la quatrième r2 redéfinit.

Ab = 1,319…

Ah = 0,969…

V = 2,165… m3

Calcul 2 bis

Idem avec r1.

Ab = 1,319…

Ah = 0,385…

V = 1,530… m3

Moyenne de ces deux calculs

V = (2,165 + 1,530) / 2

V = 1,847… m3

Calcul 3

Proportion moyenne et petits axes recalculés.

k = (0,857 + 0,35)/2 = 0,720…

Ab = 1,108…

Ah = 0,814…

Bilan

Ces trois calculs sont assez concordants sans garantie de justesse !

V  1,8 m3

Vbidon  0,45 m3 (450 litres)

 

 

 

 

 

Suite

*         Cône – Équation

*         Calcul du volume d'un cône à section elliptique

*         Coniques

*         Contenance des récipients selon leur nom

Voir

*         Cercle

*         Cône, demi-sphère et cylindre

*         Cylindre – double-cône = sphère

*         Coniques

*         Coniques – Théorème de Pascal

*         Cône et triangle rectangle

*         Cylindre

*         Pyramides

*         Vocabulaire de la géométrie

Sites

*         Cône de révolution (et plus)

*         Cône – Homeomath

*         Surfaces coniques

*         Cone – Wolfram MathWorld

*         Conical frustum – Wolfram MathWorld

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Objet3D/ConeElli.htm