FAQ - géométrie /constructions

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 10/05/2012

-Ý- FAQ - Foire aux Questions
GÉOMÉTRIE	/ Constructions
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Rubrique

ÉTOILES À 5 BRANCHES

OU PENTAGONE

Question

Construction ?

Réponse

C = centre; R = rayon

	C	R	Explications
Cercle	O	OB	Cercle du pentagone cherché
OA			Perpendiculaire en O à OB coupe le cercle en A
M			Milieu de OB
Cercle	M	MA	Il coupe OB en E
Cercle	A	AE	Coupe le cercle initial en P AP est l'un des côtes du pentagone
Cercle	P	AP	Coupe le cercle initial en un autre point du pentagone
Cercle			Etc.

Voir suite et une autre méthode sur ma page en

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/CinqEtoi.htm

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Rubrique

SANS LEVER LE CRAYON

Question

Peut-on dessiner un carré avec une croix dedans sans lever le crayon

et sans repasser deux fois sur un trait

Réponse

A) La réponse est NON, c'est impossible

Que la croix soit droite ou selon les diagonales

Pour sauver la face, tu peux dire que c'est possible, mais au carré et diagonales, il faut ajouter deux traits au-dessus pour former une enveloppe: là, c'est possible et c'est même une devinette très célèbre

B) La règle est assez simple (une fois connue)

Pour chaque sommet, notez le nombre de traits qui y aboutissent

Ce nombre est pair ou impair

S'il y a

0 ou 2 sommets impairs,

alors le tracé en un coups de crayon est

possible

Dans tous les autres cas c'est impossible

C) Explication

Si le nombre est PAIR, on peut toujours arriver au sommet et en repartir

En présence d'un sommet IMPAIR, chaque fois que j'y arrive, je peux en repartir, sauf une fois. Pour ce dernier trait je suis bloqué.

Pour que ce soit réalisable

il faut exactement deux points de blocage:

l'un est le départ et l'autre l'arrivée

D) Voir explications, exemples célèbres (pont de Königsberg, enveloppe…) et un peu de théorie sur les chemins Eulériens en:

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Logique/DeuxEuler.htm

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Rubrique

CONSTRUCTION - CENTRE DU CERCLE

Question

Le cercle est dessiné. On dispose d'une règle.

Trouvez le centre du cercle

Réponse

À ma connaissance, ce n'est pas faisable dans ces conditions

A) Première approche

Pour que cela soit faisable, il faut admettre que la règle dispose d'une marque

Ou ce qui revient au même: que l'on utilise la règle comme une unité de longueur

Voici la première étape de la construction

Sur le cercle,

choisir un point A et

tracer une droite.

Elle coupe le cercle en B

Utiliser la règle à partir de A

puis à partir de B

pour trouver le point H

Faire la même chose

de l'autre côté du cercle

Joindre HH'

C'est la médiatrice de AB

Deuxième étape de la construction

Sur le cercle, à partir de A,

tracer une nouvelle droite AC

Par le même procédé que précédemment tracer la médiatrice de AC

Elle coupe la précédente en O qui est le centre cherché du cercle

Ce que nous venons de voir est le principe de la construction avec des allumettes

En utilisant le compas, on construit les médiatrices plus facilement

B) Deuxième approche

Avec une règle- équerre, il est possible de construire le centre encore plus facilement

Avec une règle équerre

Tracer un segment qui coupe le cercle en A et B

Tracer la perpendiculaire AA' en A à AB

Le triangle rectangle AA'B est rectangle et, il est inscrit dans le cercle

Son hypoténuse est un diamètre du cercle

Même chose en B qui donne le diamètre AB'

Les deux diamètres A'B et AB se coupent au centre O du cercle

C) Généralisation

Tous les types de constructions (ceux-ci et d'autres) sont comparés en

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Construc.htm#typecons

Toutes les constructions de partage en n parts égales en

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Partage.htm

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Rubrique

CERCLE, CENTRE & 30°

Question

Je suis paysagiste, je viens de réaliser une maçonnerie en pierre plate (dallage).

Comprenant un cercle de 2 m de diamètre, avec 2 marches au bord du périmètre partant en spirale.

Comment calculer ou trouver le point qui permet de tracer cette spirale.

Comment trouver un angle de 30° dans ce même cercle.

Réponse

Voici quelques idées

Trouver le centre du cercle - Prendre un point A - Tracer une droite; elle coupe le cercle en B - Avec un compas, dessiner un cercle de centre A puis avec la même ouverture un cercle de centre B - Tracer la droite qui joint les intersections des cercles: c'est la droite rouge sur le dessin, médiatrice de AB - Faire la méme chose avec AC; on obtient la médiatrice de AC - Les deux médiatrices se coupent en O, le centre du cercle
Voir http://villemin.gerard.free.fr/NombDico/FAQ1/Construc.htm#ccercle
Dessiner un angle droit Nous en aurons besoin pour trouver 30° - Dessiner une droite AB passant par le centre O, un diamètre - Dessiner OC tel que les mesures indiquées 30 cm, 40 cm et 50 cm soient respectées ou tout multiple de ces valeurs (90, 120 et 150 cm par exemple) - Alors OC est perpendiculaire à AB
Voir Théorème de Pythagore en http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition\ThPythag.htm
Dessiner un angle de 30° - Dessiner M le milieu de AO - Tracer la perpendiculaire MM' à AO (même procédé que pour construire OC) - L'angle COM' mesure 30°
Voir sinus et cosinus en http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/angle.htm#trigo

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CERCLE – Méthode Napoléon

Question

Trouver le centre avec un compas seulement – Solution autre que celle des médiatrices

Réponse

C = centre; R = rayon

	C	R	Explications	Figure
C₁			Cercle de départ
A			Point quelconque
C₂	A	"	C₁ et C₂ => B et C
D	B	AB	Trois fois pour trouver le point diamétralement opposé D
C₃ C₄	D A	DC DC	C₃ et C₄=> E
C₅	E	DC	C₂ et C₅=> F FB est égal au rayon de C₁
C₆ C₇	B C	FB FB	C₆ et C₇=> O O est le centre de C₁

Merci à Maurice E.

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