NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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   TRIANGLES

 

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Sommaire de cette page

>>> Les six points de Terquem

>>> Le point de Gergonne

>>> Cercle inscrit

 

Voir Propriétés fondamentales des triangles

                                                                                                                        

 

 

Point de Terquem ou de Reuschle

Point de Gergonne

 

Un double faisceau de céviennes concourantes engendre six points cocycliques: les points de Terquem.

Confondus ces deux faisceaux se rencontrent en un unique point: point de Gergonne.

 

Olry Terquem (1782-1862) – Mathématicien français

Karl Gustav Reuschle (1812-1875) – Mathématicien allemand

Joseph Gorgonne (1771-1589) – Mathématicien français

 

Cévienne: toute droite issue d'un sommet du triangle

 

 

Les six points de Terquem

 

Construction

Un triangle quelconque et un jeu de céviennes concourantes (vert).

Le cercle passant par les trois pieds des céviennes qui recoupent le triangle en trois points.

Ceux-ci sont les pieds d'un nouveau jeu de trois céviennes concourants (bleu).

 

Les six pieds cocycliques sont les points de Terquem.

 

 

Faisceaux de céviennes confondus

Avec les deux jeux de céviennes confondues, l'unique point de concours est le point de Gergonne.

Le cercle est alors inscrit dans le triangle.

 

 

Cercle inscrit

En trait roses, les bissectrices et leur point de concours, centre du cercle inscrit (point rouge).

En vert, les deux faisceaux de céviennes superposées

Les trois points doubles de Terquem sont aussi le pied des perpendiculaires aux côtés issues du point de Gergonne (point vert).

 

 

Point de Gergonne

Plus simplement, le point de Gergonne est le point de concours des céviennes issues des points de tangence du cercle inscrit.

Les bissectrices servent à construire le centre du cercle inscrit. Leurs points de rencontre ne sont pas les points de tangence.

 

 

Voir Bissectrices et point de Gergonne

Triangles rectangles

En dessinant les perpendiculaires issues du point 0, on fait apparaitre les triangles rectangles congruents (égaux) deux à deux (ex: AOR et AOQ).

(Propriété générale du cercle inscrit).

 

Nadel et Gergonne

Le point de Nagel et le point Gergonne sont les points de concours de deux faisceaux de trois céviennes remarquables.

Ces droites relient les sommets du triangle d'origine aux points de tangence:

*    du cercle inscrit (Gergonne), et

*    des cercles exinscrits (Nadel).

Ces deux points sont des conjugués isotomiques (symétrie de construction via les milieux des côtés).

 

They both involve cevians drawn from a vertex to the points of tangency of circles.

 

 

Suite

*    Point de Brocard

*    Points remarquables du triangle

*   Droite d'Euler

*    Droite de Simson

*    Nombres de Kimberling

Voir

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*    TriangleGlossaire

*    Éléments de géométrie

*    Triangle – Débutants, novices

*    DicoMot

*    DicoNombre

Sites

*      Théorème de Terquem – Wikipédia

*      La géométrie du triangle – Points caractéristiques – Patrice Debart

*      Cyclocevian Conjugate – Wolfram MathWorld

*    Terquem's Theorem – Cut-The-Knot (Java Applet)

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Propriet/Terquem.htm