NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Points centraux du quadrilatère

>>> Centre géométrique du  quadrilatère

>>> Centre de gravité

>>> Calcul des coordonnées de ces points

 

 

 

 

QUADRILATÈRE et ses MILIEUX

 

Construction des "points milieux" du quadilatère:

centre géométrique et centres de gravité (CG).

 

Ne pas confondre ces deux points !

 

Anglais: Center of quadrilateral / Quadrilateral centroid

 

 

Points centraux du quadrilatère

Centres de gravité (CG) du quadrilatère quelconque

 

 

Il en existe trois qui, en général, ne sont pas confondus:

 

1.    CG: Cas classique en considérant toute la surface homogène: centre de gravité (de la surface).

2.    CG-côtés: Cas d'un objet vide avec matérialisation seulement des quatre arêtes: centre de gravité des côtés.

3.    CG-sommets: Cas d'un objet immatériels avec seulement des masses égales aux quatre sommets: centre de gravité des sommets. CG-sommets et CG-côtés sont confondus.
 

Trois points caractéristiques du quadrilatère:

 

NOIR: intersection des diagonales

 

VERT: intersection des médianes du quadrilatère: centre géométrique et CG des sommets,
et intersection des médianes du parallélogramme bleu: CG des côtés.

 

ROUGE: Centre de gravité du quadrilatère (CG de la surface) Construction en rouge, détaillée ci-dessous.

Voir Point de concours des quatre médianes-hauteurs

 

 

 

Centre géométrique du  quadrilatère

CG des sommets et CG des côtés

 

Centre M du quadrilatère

 

C'est le point de concours des médianes (vert).

 

C'est aussi le milieu du segment qui réunit les milieux des diagonales (rose).

 

C'est le centre de gravité d'un objet vide ayant des masses égales déposées aux sommets.

 

C'est aussi le centre de gravité des côtés considérés comme des "tubes" de masses identiques.

 

 

Rappel: le centre de gravité de quatre points de masses égales (A, B, C et D) est situé à l'intersection de segments réunissant les points milieux (E, F, G et H) deux à deux (M).

 

 

 

Concernant les côtés

Masses identiques ou masses quelconques ?

 

Quatre côtés de masses identiques

Le CG du "tube" AB se trouve en E, milieu AB. Idem pour les autres côtés.

Le CG des quatre points E, F, G et H, formant un parallélogramme, se trouve sur l'intersection de segments EG et FH, qui est aussi le point M.

 

Quatre côtés de masses quelconques

Si les tubes on des masses différentes, la recherche du centre de gravité se fera en appliquant les pondérations dues aux masses. La masse de chaque tube est ramenée au centre du tube. On dispose alors de quatre objets de masses différentes, situés en E, F, G et H dont il faut calculer le centre de gravité.

  

 

Exemple avec quatre barres assemblées en quadrilatère

Quadrilatère formé par quatre barres de masses proportionnelles à leur longueur: respectivement 1, 2, 3, 4 unités.

La masse de chaque barre est concentrée en son milieu.

Le CG de m1 et m3 est situé sur la droite m1m3 avec une distance de 1/4 et de 3/4 de part et d'autre: M4

Le CG de m2 et m4 est situé sur la droite m2m4 avec une distance de 2/6 et de 4/6 de part et d'autre: M6.

Le CG de M4 et M6 est situé sur la droite M2M6 avec une distance de 4/10 et de 6/10 de part et d'autre: CG10.

Les quatre barres se comportent comme si leur masse totale de 10 unités était concentrée en CG10.

Voir Méthode générale

 

Merci à Philippe MOUTET pour ses remarques

 

 

But

Construire le centre M d'un quadrilatère quelconque.

 

Construction 1 (vert)

1.    Points milieux des côtés.

2.    Rejoindre deux à deux.

3.    Intersection =  point milieu du quadrilatère.

 

Construction 2 (rose)

1.    Diagonales.

2.    Leur point milieu.

3.    Segment joignant ces points milieux.

4.    Le milieu de ce segment est le point milieu du quadrilatère.

 

Construction minimale (figure du bas)

1.    Points milieux de deux côtés opposés.

2.    Segment les rejoignant.

3.    Le milieu de ce segment est le point milieu du quadrilatère.

 

 

 

 

 

 

Centre

 de gravité (de la surface)

Construction à partir des centres de gravité des quatre triangles: ABC, ACD, ABD et BCD.

 

 

Centres de gravité X et Y d'une paire de triangles (ABC et ACD).

Centres de gravité V et W de l'autre paire de triangles (ABD et BCD).

 

Centre de gravité CG du quadrilatère: point d'intersection des segments XY et VW.

 

Note: en général, CG n'est pas le milieu M du quadrilatère.

 

Construction plus rapide

*    Quadrilatère ABCD;

*    Ses diagonales AC et BD (bleues);

*    Segment FC de même longueur que AE;

*    Triangle BDF, son centre de gravité est celui du quadrilatère;

*    Médianes (en pointillés verts) qui se croisent en G, le centre de gravité du quadrilatère.

 

 

Voir Brève 55-1099

Référence A New and Improved Method for Finding the Center of Gravity of a Quadrilateral – Behzad Khorshidi

 

 

 

Calcul des coordonnées

Rouge: G, centre de gravité

 

Bleu: M, centre géométrique

 

 

Centre géométrique de k points

 

 

Exemple

xM = (0 + 10 + 20 + 2)  / 4 = 32 / 4 = 8

yM = (0 + 0 + 6 + 14) / 4 = 20 / 4 = 5

 

 

Centre de gravité de k points

 

Avec A, l'aire du quadrilatère.

 

Exemple

X = [0, 10, 20, 2]  et  Y = [0, 0, 6, 14]

A = 20x14 – 1/2 (10x6 + 2x14 + 18x8) = 280 – 116 = 164

 

Calcul des coordonnées

Retour  Centre de gravité de formes usuelles

 

 

 

 

Suite

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Site

*    The Centroid of the Quadrilateral – Mike Patterson

*    On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral – Alexei Myakishev

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Carre/QuadCons.htm