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NOMBRES CONGRUENTS

Problème connu de l'Antiquité. Énoncé simple du problème: recensement des nombres congruents, nombres tels que trois carrés sont écartés de la même valeur deux à deux.

les notions modernes, comme les courbes elliptiques, ont permis de faire progresser leur connaissance.

Étymologie

La terminologie n'est pas très appropriée. Les nombres congruents ont peu à voir avec la notion de congruence arithmétique. Fibonacci qui traitait de ce problème parlait de congruence au sens latin de congruo, grui, ere: concorder, aller ensemble. En 1225, dans son livre Liber Quadratorum (le livre sur les carrés), Fibonacci nommait congruum un entier n tel que x² – n et x² + n sont également des carrés. Soit, trois carrés en progression arithmétique de raison n. Les trois carrés sont en quelque sorte liés ensemble par n.

Voir Congru / Portion congrue / Étymologie

Découverte des premiers nombres congruents
1	Non	Fibonacci (1175-1240). Aucun triangle rectangle rationnel n'a une aire égale à un carré. Prouvé par Fermat.
2, 3	Non	Fermat (1601-1665).
4	Non	Fermat.
5, 6	Oui	Manuscrits arabes du X^e siècle. Fibonacci les retrouve en 1220. &
7	Oui	Fibonacci au XIII^e siècle.

Voir Ces nombres et leurs paramètres de congruence

Historique

Antiquité Au départ, il s'agissait de rechercher des triplets de carrés en progression arithmétique de raison n. (u² + n = v² et v² + n = w²). Les Grecs, comme Diophante (210-290), connaissaient des problèmes similaires. Cette recherche est cousine de celle de la détermination des triplets de Pythagore. Arabes Un manuscrit arabe datant de 972 prétendait que le recensement des nombres congruents était le principal objet de la théorie du triangle rectangle rationnel. Le problème avait été posé par le mathématicien perse Al-Karaji (953-1029) dès la fin du X^e siècle: trouver un nombre v tel que v² + n et v² – n soient également des carrés. Ce problème fut certainement connu lorsqu'Aboul Wafi traduisit Diophante. Les arabes savaient que 5, 6, 14, 15, 21, 30, 34, 65, 70, 110, 154, 190, 210, 221, 231, 246, 290, 390, 429, 546 et une dizaine d'autres plus grands (comme 10 374) étaient des nombres congruents. Occident Bachet de Méziriac (1581-1638), traduisant le livre Arithmetica de Diophante, s'intéresse aux triangles rectangles pythagoriques et affirme qu'aucun d'eux n'a une aire carrée. Autrement dit: x² = y² + z² et y.z = 2t² n'a pas de solution. Voir Démonstration En 1225, Fibonacci publie Liber Quadratum. Il avait été mis au défi de trouver trois carrés séparés de 5 unités deux à deux. Il donne la réponse pour 5 et pour 7. En 1659, Fermat montre que 1 n'est pas un nombre congruent. Il invente pour cela sa fameuse méthode de la descente infinie. En 1659, Fermat, il prouve qu'il n'existe pas de triangle rectangle rationnel dont l'aire est un carré. Comme beaucoup d'autres, Euler (1707-1783) y travaille également. Il contribue à conserver le nom de congruence au sens de se trouver ensemble. En 1855, Genocchi démontre un certain nombre de non-congruences. En 1877, Lucas trouve une expression en x^4 déterminant si un nombre est congruent ou non. Nombreux sont ceux qui ont trouvé des propriétés associant les nombres premiers et des propriétés en forme de modulo. En 1915, tous les nombres congruents inférieurs à 100 sont connus. En 1952, Heegner relie les nombres congruents au monde des courges elliptiques. Il prouve qu'un premier p congruent à 5 ou 7 modulo 8 est congruent. En 1972, Alter, Curtz and Kubota conjecturent que si n est congruent à 5, (6?) ou 7 modulo 8, alors n est un nombre congruent. Affirmation démontrée sous condition de la validité de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) émise en 1960. En 1975 Stephens relie les nombres congruents et la conjecture BSD.

Développements récents

En 1980, on ne connaît pas encore toutes les valeurs inférieures à 1000. En 1983, l'Américain Jerrold Tunnell associe les nombres congruents et les courbes elliptiques et trouve une formule simple pour déterminer si un nombre est congruent. Note: cette formule ne sera valable que lorsque la conjecture BSD sera démontrée. En 1986, tous les nombres congruents jusqu'à 2000 sont connues. Aujourd'hui, on trouve des tables sur Internet qui les donnent tous jusqu'à 10 000. En 2007 (?), Mike Rubistein les propose jusqu'à 10^9 sous condition de la validité de la conjecture BSD. En 2008, Robert Bradshaw et ses collègues vont jusqu'à 2 10^10. En 2009, le record s'établit à 10^12. En effet, en 2009, les mathématiciens d'une équipe internationale ont calculé selon deux algorithmes tous les nombres congruents jusqu'à 1000 milliards - soit environ trois milliards de nouveaux nombres congruents. Même avec les mémoires d'aujourd'hui, leur capacité est trop faible pour les calculs liés à cette formule. Robert Bradshaw et ses collègues ont repoussé ces limites en décomposant le calcul en blocs de calculs hiérarchisés, chacun étant géré par un disque de mémoire distinct. Pour limiter le temps de calcul, la transformée de Fourier rapide (FFT) fut utilisée.

Voir Propriétés des nombres congruents

English Corner
This elementary sounding problem is still not completely solved; the last remaining step involves the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, which is one of the most important open problems in number theory (right up there with the Riemann hypothesis).

Suite	Nombres congruents – Formules Nombres congruents – Introduction
Voir	Addition - Glossaire Briques de Pythagore Congruence, modulo Pythagore – Biographie Triangle de Pythagore Triangle rectangle
Diconombre	Nombre 5 Nombre 6 Nombre 7
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