NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/08/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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NOMBRES CONGRUENTS

Formules

Formules génériques pour créer des nombres congruents.

Les formules

Nous connaissons la formule générique permettant de créer des nombres congruents à partir de nombres entiers. Suite >>> Nous savons également qu'un nombre congruent (n) se déclinent en une infinité de nombres congruents par la relation: Suite >>> Nous allons découvrir une autre formule générique qui permet de créer de nouveaux nombres congruents à partir d'un exemple connu. Nous verrons que la formule est lourde pour créer de nouvelles valeurs numériques, mais sa forme littérale est intéressante pour ses applications.

Formule en bicarrés
Selon la définition du nombre congruent et sur un exemple. Ou, sous une forme plus générique qui permet l'introduction des nombres rationnels.
Passons à une forme littérale. En multipliant par B².
Propriétés en additionnant avec identité remarquable. Propriétés en soustrayant. Propriétés en multipliant.	2A² = C² + D² = ½ (C-D) + ½ (C+D) 2n.B^2 = C^2 – D^2 = (C – D) (C + D) A^4 – n^2 .B^4 = C^2.D^2
Système d'équation équivalent donnant A et B en fonction de C et D
Création d'un nouveau nombre

Exemple numérique
Valeurs successives pour n = 120 Avec quatre itérations seulement, on se situe déjà dans les 10^300 !

Applications

Les nombres 1 et 2 ne sont pas congruents Fermat connaissait cette mise en forme des équations relatives aux nombres congruents. Il étudie les solutions de l'équation: A^4 – n^2 .B^4 = C^2.D^2 & A^4 + n^2 .B^4 = C^2.D^2 Avec n = 1 et n = 2: A^4 – B^4 = C^2.D^2 & A^4 + B^4 = C^2.D^2 A^4 – 4B^4 = C^2.D^2 & A^4 + 4B^4 = C^2.D^2 Qui n'ont aucunes solutions intéressantes (non triviales). Il en déduit que 1 et 2 ne sont pas des nombres congruents. Courbes elliptiques Partons du système d'équation: Ses solutions: Avec x et y deux entiers premiers entre eux et de parité différente. En reprenant une des équations pour exprimer notre nombre congruent en fonction des solutions x et y: n. B² = ½ . 4 (x.y) . 2 (x² – y²) = 4 (x.y) (x² – y²) Or, B² est un nombre entier qui vaut la moitié d'une expression en nombres entiers, donc B est pair; et on pose B = 2b. n. (2b)² = 4 (x.y) (x² – y²) n. b² = (x.y) (x² – y²) On se souvient qu'un nombre congruent primitif est un nombre sans facteur carré. nprimitif = (x.y) (x² – y²) C'est une formule pratique qui est utilisée pour calculer des nombres congruents Elle fait intervenir le degré trois, une allure qui fait penser au degré des courbes elliptiques. Ce qui est confirmé lorsqu'on poursuit l'analyse.

Suite	Nombres congruents – Propriétés Cercle unité et triplets de Pythagore
Voir	Addition - Glossaire Briques de Pythagore Congruence, modulo Pythagore – Biographie Triangle de Pythagore Triangle rectangle
Diconombre	Nombre 5 Nombre 6 Nombre 7
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