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		Sommaire de cette page >>> Brique d'Euler >>> Pavé parfait et brique parfaite

Brique d'Euler et Brique parfaite

On considère le parallélépipède, ses dimensions et toutes ses diagonales. Il est parfait si toutes ses mesures sont des nombres entiers ou alors simplement brique d'Euler si la grande diagonale manque à l'appel.

Il existe une infinité de briques d'Euler et on ne connait aucune brique parfaite.

Anglais: Euler Brick / Perfect cuboid

Perfect parallelepiped / perfect cuboid or perfect box

BRIQUE d'EULER

Définition et exemple

Brique (parallélépipède rectangle) de dimensions telles que:

x² + y² = a²

y² + z² = b²

z² + x² = c²

Tous ces nombres étant des nombres entiers.

Plus petite brique d'Euler , découverte en 1719 par Paul Halcke:

x = 44, y = 117, z = 240

Calcul des diagonales avec le théorème de Pythagore

x² + y² = a² = 44² + 117 ² = 1936 + 13689 = 15625 = 125²

y² + z² = b² = 117² + 240² = 13689 + 57600 = 71289 = 267²

z² + x² = c² = 240² + 44² = 57600 + 1936 = 59536 = 244²

Formule engendrant des briques d'Euler

Euler a trouvé une formule produisant de telles brique, sans les donner toutes (1770, 1772). Saunderson avait trouvé une telle formule en 1740.

Si (u, v, t) est un triplet de Pythagore:

(x, y, z) = (u (4v² – t²), v (4u² – t²), 4uvt)

Alors les diagonales: (a, b, c) = (t³, u (4v² + t²), v (4u² + t²))

Autres exemples

Conditions

Une des longueurs d'arête, au moins, est de la forme 11k

Condition nécessaire, pas suffisante.

Propriétés

Si les dimensions sont des nombres premiers entre eux, la brique d'Euler est primitive.

Si (a, b, c) est une solution, alors (ka, kb, kc) est aussi une solution de sorte qu'une solution rationnelle peut toujours être transcrite en solution entière.

Si (a, b, c) est une solution, alors (bc, ac, ab) est aussi une solution.

Kraitchik a obtenu 257 briques d'Euler dont le côté impair est inférieur à un million et Helenius 5003, en considérant le petit côté.

Anglais: parallelepiped

Pavé parfait & brique parfaite
On va examiner les cas de: la brique "quelconque" parfaite, puis de la brique droite parfaite, et enfin de la brique droite presque-parfaite.
Parallélépipède quelconque les trois dimensions, les diagonales de face et les grandes diagonales sont des nombres entiers. Soit 3 + 6 + 4 valeurs en nombres entiers. Note: le pavé étant quelconque (angle pas à 90°), les grandes diagonales sont toutes de longueurs différentes. De même, pour chacune des deux diagonales d'une face.
Richard Guy avait posé la question de l'existence d'un tel pavé. En 2009, Clifford Reiter et Jorge Sawyer en découvre un grand nombre par exploration systématique sur ordinateurs, dont celui du tableau. Note: Inutile de vérifier avec le théorème de Pythagore, les angles ne sont pas de 90°.
Définition vectorielle du pavé Les vecteurs définissant ce pavé sont les suivants:		Calcul des normes (longueurs) des vecteurs
Parallélépipède droit Avec deux faces rectangulaires, on connait quelques pavés parfaits. Par contre, pour le pavé droit parfait (brique parfaite), on n'en connait aucun et on ne sait pas s'il peut exister. En tout cas, la plus petite arête est supérieure à 3000 milliards. Conditions d'existence: les arêtes doivent être en 5k, 7k, et la troisième en 11k; l'une d'elle doit être aussi en 19k; l'une d'elle ou la grande diagonale doit être ne 13k; l'une d'elle ou une diagonale de face ou la grande diagonale en 17k; idem en 29k; et idem en 37k.
Parallélépipède droit presque-parfait	Arêtes (672 / 153 / 104) Diagonales de face (689,19 / 680 / 185) Grande diagonale (697) Arêtes (18 720 / / 7 800) Diagonales de face (23 711 / 16511 / 20 280) Grande diagonale (24 961)

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Voir	Brique de construction Théorème de Pythagore Triplets de Pythagore Pythagore
DicoNombre	Nombre 11 Nombre 44 Nombre 103 Nombre 117 Nombre 240
Sites	Brique d'Euler – Wikipedia Perfect Parallelepiped Exist – Jorge Sawyer, Clifford Reiter Euler Brick – Wolfram MathWorld OEIS A 031173 , A03 1174 et A031175 - Longest edge of smallest (measured by the longest edge) primitive Euler bricks, etc.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/ThPythBr.htm