NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 20/11/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	ÉNIGMES
Débutants JEUX	PARTAGES				Glossaire Général
INDEX JEUX Dénombrement	Classiques	Bakhshali	Unijambiste	Pascal
	Gain au jeu	Bœufs d'Hélios	Trois amis	100 euros
	Tonneaux	Partage en 1/17	Œufs qui tombent
			Singe et noix de coco
		Sommaire de cette page >>> Le problème: partie 1 >>> Mise en équations >>> Solutions >>> Résolution par ordinateur >>> Résolution à la main >>> Supplément: partie 2

Problème des bœufs d'Hélios

Les bœufs d'Archimède / Les taureaux d'Archimède

Le troupeau du soleil / Le troupeau d'Hélios

Problème qu'Archimède ( 250 av. J.-C.) pose dans une lettre à Ératosthène, sous la forme d'une épigramme en quarante-quatre vers (22 couplets).

Il s'agit de retrouver la quantité de bœufs à partir de sept conditions formant équations. Cette première partie n'est pas très dure à résoudre même si la solution donne de grands nombres.

Deux conditions complémentaires (apocryphe?) rendent le problème quasi-impossible.

Découvert en 1773 par Gotthold Lessing dans une bibliothèque de Wolfenbüttel (Allemagne). Résolu en 1880 par A. Amthor.

Anglais: The cattle problem, Helios cattle, Archimedes' cattle problem, oxen of the sun

Archimedes' Problema Bovinum

Le problème (partie 1)

Si tu es diligent et sage, ô étranger, calcule le nombre de têtes de bétail du troupeau du soleil qui autrefois paissait dans les champs de l'île de Thrinacian …. Le dieu soleil (Hélios) possède un troupeau de taureaux et de vaches, dont une partie était blanche, une partie noire, une partie pie, et la quatrième jaune. Version anglaise: The sun god had a herd of cattle consisting of bulls and cows, one part of which was white, a second black, a third spotted, and a fourth brown. Robe pie: qui est composée d'une couleur en plus du blanc; l'anglais dit tacheté (spotted). Pour les taureaux: Le nombre de ceux qui étaient blancs dépassait le nombre des jaunes de la moitié plus un tiers du nombre des taureaux noirs. Le nombre des taureaux noirs dépassait le nombre des taureaux jaunes d'un quart plus un cinquième du nombre des taureaux pie. Enfin le nombre des taureaux pie dépassait celui des jaunes d'un sixième plus un septième du nombre des taureaux blancs. Pour les vaches: Le nombre des blanches était égal au tiers augmenté du quart du nombre total des bovins noirs. Le nombre des vaches noires, au quart augmenté du cinquième du nombre total des bovins pie. Le nombre des vaches pie, au cinquième augmenté du sixième du nombre total des bovins jaunes. Le nombre des vaches jaunes était égal à un sixième plus un septième du nombre des bovins blancs."

Bœufs d'Hélios (Odyssée d'Homère)

Ulysse vient de passer les écueils de Charybde et Scylla (détroit de Messine entre Italie et Sicile).

Circé (enchanteresse, fille d'Hélios) et le devin Tirésias le mettent en garde: sur l'île de Thrinacia (Sicile ou Malte?), ne pas toucher au troupeau sacré d'Hélios, le dieu du soleil.

L'Odyssée d'Homère - Traduction de Leconte de Lisle (1818-1894)

Rappel: femme d'Ulysse: Pénélope et leur fils Télémaque

Les compagnons d'Ulysse sont à bout de force et imposent un arrêt sur l'île pour se reposer. Le vent se lève qui oblige l'équipage à reste sur l'île. Les provisions venant à manquer, ils succombèrent et mangèrent les plus belles bêtes d'Hélios.

Celui-ci réclame vengeance auprès de Zeus, lequel foudroie le navire d'Ulysse, l'épargnant seul, car il n'a pas mangé de cette viande.

Voir Factorisation de Pénélope

Mise en équations
Formulations de la première proposition Le nombre de ceux qui étaient blancs dépassait le nombre des jaunes de la moitié plus un tiers du nombre des taureaux noirs. Les blancs sont plus que les jaunes. Il y en a (1/2 + 1/3) de la quantité des noirs en plus. Blancs = Jaunes + (1/2 + 1/3) Noirs Formulation symbolique B = J + N

Voir Calculs avec fractions

Solutions
Nous disposons de sept équations pour huit inconnues. Alors, la solution ne sera connue qu'à une constante de proportionnalité près (k, un entier). La résolution de ce système d'équations ne pose pas de problème théorique, mais il est long!. L'épigramme d'Archimède était accompagnée d'un court poème supplémentaire précisant que k = 80.

Résolution par ordinateur

Aujourd'hui, la solution est calculée rapidement à l'aide d'un logiciel mathématique comme Maple. Voici le programme: La réponse du logiciel est la suivante; sous forme fractionnaire et, ici, en fonction de p. Le plus grand commun multiple qui permet l'obtention de nombres entiers (et non des nombres fractionnaires) est 3 515 820 qui est la plus petite valeur de p. En remplaçant p par sa valeur, on retrouve les solutions entières données ci-dessus.

Résolution "à la main"
Pour les curieux, voici la résolution de ce système d'équations sans ordinateur. Excellent exercice pour s'entraîner aux calculs avec fractions.

Supplément – Deuxième partie du problème
Archimède ajoute (14 dernières ligne de son poème) deux conditions complémentaires pour atteindre le degré suprême dans la science des nombres.	La somme des taureaux blancs et noirs est un carré: B + N = carré. La somme des taureaux pie et jaunes est triangulaire. P + J = triangulaire Quelle est la taille du troupeau?
Formulation	B + N = c² P + J = ½ t (t + 1) avec c et t deux entiers
Application numérique, sachant que la solution est un multiple (k) des valeurs déjà trouvées. Avec h = 1, nous avons un carré. Cependant, on conserve un coefficient multiplicatif car nous avons encore une condition à satisfaire.	B + N = 17 826 996 k = c² = 2^2 x 3 x 11 x 29 x 4659 k = 2^2 x 4 456 749 k k = 4 456 749 h²
Seconde condition avec notre nouveau coefficient. On cherche à dégager un carré à l'aide d'une identité remarquable. pour cela, on multiplie par 8 et on ajoute 1. Soit au final deux conditions à satisfaire.	P + J = ½ t (t + 1) = 11 507 447 x 4 456 749 h² = 512 85 802 909 803 h^2 8/2 t (t + 1 ) + 1 = 4t² + 4t + 1 = (2t + 1)^2 (2t + 1)^2 = 8 x 512 85 802 909 803 h^2 + 1 = 410 286 423 278 424 h² + 1 = 2^3 x 3 x 7 x 11 x 29 x 353 x 4 657^2 h² + 1 = 4 729 494 x 9 314² h² + 1 u² = 4 729 494 v² + 1 v² = 9 314² h²
Nos constatons que, dans ces conditions le problème se complique énormément. Sa mise en équation par Amthor aboutit à cette équation de Pell. Sa solution fait appel aux congruences, au théorème des restes chinois et aux fractions continues.	u² – k . v² = 1 v 0 mod (9 314) avec k = 4 729 494 = 2 x 3 x 7 x 11 x 29 x 353
La solution fut exprimée par Amthor qui évaluait la taille du troupeau à un nombre d'environ de 206 545 chiffres. Une nouvelle méthode de résolution fut découverte par Vardi en 1998. Les formules obtenues sont directement exploitable par un logiciel de calcul.	En 1965, la valeur de la taille du troupeau fut calculée par ordinateur en pratiquement huit heures de calcul – Williams et al. Taille du troupeau Il faut 52 pages pour imprimer ce nombre.

Conclusion

Il est plus que probable qu'Archimède n'a pas résolu ce problème. On se demande même si, taquin, il ne voulait pas mettre en difficulté ses collègues.

Plus tard, en arrivant sur l'extravagante équation de Pell, certains mathématiciens ont voulu interpréter les contraintes. Un exemple: le carré appliqué au troupeau voudrait dire que les bêtes sont mises dans une grille carrée; or le bovin étant plus long que haut, on aboutirait à un rectangle et la contrainte deviendrait:

T = n . m et non T = c².

Voir	Partage – Énigmes classiques Partage en dix
Aussi	Jeux – Index Partage et dédommagement Partage lors d'un repas en commun Partage de Pascal
DicoNombre	Nombre 4 729 494 Nombre 7,7… 10^206 544
Site	Sur le problème des bœufs d'Archimède – Paul Tannery – 1881 Archimedes' Catlle Problem - Weisstein, Eric W. "Archimedes' Cattle Problem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Archimedes'Cattle Problem – Iian Vardi pour suivre le calcul de la partie additionnelle du problème
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Partage/Helios.htm