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PARTAGE DE PASCAL

ou Problème de la partie interrompue

ou Problème des parties

Jeu de PILE OU FACE interrompu.

Comment partager les gains ?

Comment répartir les enjeux compte tenu des parties déjà jouées?

Problème posé par le chevalier Méré.

Résolu par Pascal. On parle de martingale de Pascal.

Expliqué dans une lettre qu'il envoie à Fermat en 1654.

Fermat aurait donné une solution plus générale.

Anglais: The problem of points, the problem of division of the stakes

PROBLÈME général

Le jeu au départ est classique Deux joueurs Albert et Bernard. Ils jouent à un jeu (le type est indifférent) en trois manches. Ils misent chacun 32 pistoles. Le premier qui totalisera trois manches gagnantes reçoit les 64 pistoles jouées. Le jeu est équitable Le jeu est symétrique. La probabilité de gain de l'un est égale à la probabilité de gain de l'autre. Pour Albert, le gain peut-être direct: GGG ou indirect: GPPGG Même chose (réciproque) pour Bernard, bien sûr.

Graphe des possibilités ou arbre des éventualités

Dénombrement des chemins possibles pour atteindre la victoire de l'un ou de l'autre

Manche	1	2	3	4	5
1	G	G	G
2			P	G
3				P	G
4					P
5		P	G	G
6				P	G
7					P
8			P	G	G
9					P
10				P
11	P	G	G	G
12				P	G
13					P
14			P	G	G
15					P
16				P
17		P	G	G	G
18					P
19				P
20			P

On note

La partie se joue en 3, 4 ou 5 manches.

Si Albert a gagné la première manche, il a plus de chance de gagner les trois manches (évidemment).

Ici (tableau ci-dessus) 6 Gains jaunes

contre 4 Pertes bleues.

PROBLÈME de Méré

Le jeu a commencé La première manche est gagnée par Albert. On doit s'arrêter là pour des raisons indépendantes de leur volonté. Comment répartir les 64 pistoles misées ? Pistes Rendre les mises à chacun: Ce ne serait pas juste: Albert a gagné une partie. Même sans connaître le tableau ci-dessus, Albert a un espoir de gagner la suite. Comment traduire l'espérance de chacun ? Pascal donne une solution astucieuse Il considère les espoirs de gains en fin de partie et en remontant vers le début du jeu. Principe du calcul de Pascal Prenons une des dernières étapes. Arrivé à ce point du jeu: Albert à 50% de probabilité de gagner et, il empoche les 64 pistoles ou 50% de probabilité de perdre et, ne reçoit rien On dit que son espoir (espérance) de gain est de 32 pistoles. Que l'on calcule en faisant: E = 0,5 x 64 + 0,5 x 0 = 32 Remontons Prenons l'étape juste avant. Arrivé à ce point du jeu Albert à 50% de probabilité de gagner et, il empoche les 64 pistoles ou 50% de probabilité de continuer et, il a une espérance de gain de 32 pistoles. Son espérance de gain est de E = 0,5 x 64 + 0,5 x 32 = 48

SOLUTION avec le graphe
Graphe donnant la solution telle qu'elle a été décrite Pascal
La solution est donc Albert ayant gagné la première partie, il a une espérance de gain de 44 pistoles soit: 44 / 64 = 0,6875 Remarque importante: Ce n'est pas une probabilité de gain, c'est une espérance de gain. On a fait un calcul qui donne un nombre, une sorte de moyenne.

SOLUTION avec le tableau

Calcul avec le tableau

On part également de la droite vers la gauche pour faire les calculs

Manche	1		2		3		4		5
1	G	44	G	56	G	64
2					P	48	G	64
3							P	32	G	64
4									P	0
5			P	32	G	48	G	64
6							P	32	G	64
7									P	0
8					P	16	G	32	G	64
9									P	0
10							P	0

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Livre	Les probabilités d'Albert Jacquard – On y trouve en particulier la lettre de Pascal à Fermat Hasard et probabilités – Benoît Rittaud – Quatre à Quatre Le pommier – 2002 – Parfait pour une bonne initiation.
Sites	Problème des partis – Wikipédia Pascal et les problèmes du chevalier de Méré – De l’origine du calcul des probabilités aux mathématiques financières d’aujourd’hui - Yves Derriennic – pdf 27 pages – Formalisation et extention.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/PaPascal.htm