NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Problème général

>>> Problème de Méré

>>> Solution avec le graphe

>>> Solution avec le tableau

 

 

 

 

 

 

 

 

PARTAGE DE PASCAL

 

ou Problème de la partie interrompue

ou Problème des parties

 

 

Jeu de PILE OU FACE interrompu.

Comment partager les gains ?

Comment répartir les enjeux compte tenu des parties déjà jouées?

 

*      Problème posé par le chevalier Méré.

*      Résolu par Pascal. On parle de martingale de Pascal.

*      Expliqué dans une lettre qu'il envoie à Fermat en 1654.

*      Fermat aurait donné une solution plus générale.

 

Anglais: The problem of points, the problem of division of the stakes

 

 

 

 PROBLÈME général

 

Le jeu au départ est classique

Deux joueurs Albert et Bernard.

Ils jouent à un jeu (le type est indifférent) en trois manches.

Ils misent chacun 32 pistoles.

Le premier qui totalisera

trois manches gagnantes

reçoit les 64 pistoles jouées.

 

Le jeu est équitable

Le jeu est symétrique.

La probabilité de gain de l'un est égale à la probabilité de gain de l'autre.

Pour Albert, le gain peut-être direct:

GGG

ou indirect:

GPPGG

Même chose (réciproque) pour Bernard, bien sûr.

 

 

 

Graphe des possibilités ou arbre des éventualités

 

 

 

Dénombrement des chemins possibles pour atteindre la victoire de l'un ou de l'autre

 

Manche

1

2

3

4

5

1

G

G

G

 

 

2

 

 

P

G

 

3

 

 

 

P

G

4

 

 

 

 

P

5

 

P

G

G

 

6

 

 

 

P

G

7

 

 

 

 

P

8

 

 

P

G

G

9

 

 

 

 

P

10

 

 

 

P

 

11

P

G

G

G

 

12

 

 

 

P

G

13

 

 

 

 

P

14

 

 

P

G

G

15

 

 

 

 

P

16

 

 

 

P

 

17

 

P

G

G

G

18

 

 

 

 

P

19

 

 

 

P

 

20

 

 

P

 

 

 

On note

La partie se joue en 3, 4 ou 5 manches.

 

Si Albert a gagné la première manche, il a plus de chance de gagner les trois manches (évidemment).

Ici (tableau ci-dessus) 6 Gains jaunes

contre 4 Pertes bleues.

 

 

 

 

PROBLÈME de Méré

 

Le jeu a commencé

La première manche est gagnée par Albert.

On doit s'arrêter là pour des raisons indépendantes de leur volonté.

Comment répartir les 64 pistoles misées ?

Pistes

Rendre les mises à chacun:

Ce ne serait pas juste: Albert a gagné une partie.

Même sans connaître le tableau ci-dessus,

Albert a un espoir de gagner la suite.

Comment traduire l'espérance de chacun ?

 

Pascal donne une solution astucieuse

Il considère les espoirs de gains en fin de partie

et en remontant vers le début du jeu.

 

Principe du calcul de Pascal

 

Prenons une des dernières étapes.

Arrivé à ce point du jeu:

Albert à 50% de probabilité de gagner et, il empoche les 64 pistoles

ou 50% de probabilité de perdre et, ne reçoit rien

 

 

On dit que son espoir (espérance) de gain est de 32 pistoles.

Que l'on calcule en faisant:

E = 0,5 x 64 + 0,5 x 0 = 32

 

Remontons

 

Prenons l'étape juste avant.

Arrivé à ce point du jeu

Albert à 50% de probabilité de gagner et, il empoche les 64 pistoles

ou 50% de probabilité de continuer et, il a une espérance de gain de 32 pistoles.

 

 

Son espérance de gain est de

E = 0,5 x 64 + 0,5 x 32 = 48

 

 

 

 

 

SOLUTION avec le graphe

 

Graphe donnant la solution telle qu'elle a été décrite Pascal

 

 

La solution est donc

Albert ayant gagné la première partie,

il a une espérance de gain de 44 pistoles

soit:

44 / 64 = 0,6875

 

Remarque importante:

Ce n'est pas une probabilité de gain,

c'est une espérance de gain.

On a fait un calcul qui donne un nombre, une sorte de moyenne.

 

 

 

 

SOLUTION avec le tableau

 

Calcul avec le tableau

On part également de la droite vers la gauche pour faire les calculs

 

Manche

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

1

G

44

G

56

G

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

P

48

G

64

 

 

3

 

 

 

 

 

 

P

32

G

64

4

 

 

 

 

 

 

 

 

P

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

P

32

G

48

G

64

 

 

6

 

 

 

 

 

 

P

32

G

64

7

 

 

 

 

 

 

 

 

P

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

P

16

G

32

G

64

9

 

 

 

 

 

 

 

 

P

0

10

 

 

 

 

 

 

P

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Livre

*    Les probabilités d'Albert JacquardOn y trouve en particulier la lettre de Pascal à Fermat

*    Hasard et probabilités – Benoît Rittaud – Quatre à Quatre Le pommier – 2002 – Parfait pour une bonne initiation.

Sites

*    Problème des partis – Wikipédia

*    Pascal et les problèmes du chevalier de Méré – De l’origine du calcul des probabilités aux mathématiques financières d’aujourd’hui - Yves Derriennicpdf 27 pages – Formalisation et extention.

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http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/PaPascal.htm