NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 20/11/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Les quatre joueurs satisfaits

Énigmes avec des gains à partager

Comment s'y prendre? Parfois, une marche à reculons est la plus propice.

Les quatre joueurs satisfaits
À ce jeu, la règle indique que le joueur perdant dédommage les autres en doublant leur mise. Quelles étaient les mises de départ?	Ce jour-là, ils sont quatre et après quatre parties, ils se retrouvent avec 240 euros chacun. Hasard étrange, ils ont chacun perdu une partie. Satisfaits ils décident de s'arrêter là.

Solution

Les trois joueurs satisfaits – Solution
La solution la plus simple consiste à remonter le temps. Nous savons qu'ils finissent avec chacun 240 euros, soit 960 euros au total. Chacun à perdu une partie. Supposons qu'ils perdent dans l'ordre A, B, C puis D. Attention en marche arrière, le gain actuel est égal au double du précédent si le joueur à gagné. La méthode est alors très simple: on divise les gains des gagnants par 2, et on affecte le complément à 960 au perdant. Calcul numérique (à rebrousse-poil)
	A	B		C		D		Somme
Fin	240	240		240		240		960
D perd	120	120		120		600		960
C perd	60	60		540		300		960
B perd	30	510		270		150		960
A perd	495	255		135		75		960
Calcul littéral (à l'endroit)
Départ	x		y		z		t
A perd	x – y – z – t		2y		2z		2t
B perd	2(x – y – z – t)		3y – (x + z + t)		4z		4t
C perd	4(x – y – z – t)		6y – 2(x + z + t)		7z – x – y – t		8t
D perd	8(x – y – z – t)		12y – 4(x + z + t)		14z – 2(x + y + t)		15t – (x + y + z)
Résolution du système d'équation				avec x + y + z + t = 4S
Solutions	x = 33S / 16		y = 17S / 16		z = 9S / 16		t = 5S / 16
Solutions pour 3 joueurs et 3 parties				avec x + y + z = 3S
Solutions	x = 13S / 8		y = 7S / 8		z = S / 2
Solutions pour 2 joueurs et 2parties				avec x + y = 2S
Solutions	x = 5S / 4		y = 3S / 4

Exemples à 2 ou 3 joueurs

Si deux joueurs jouent deux parties et se retrouvent chacun avec 100 euros, c'est qu'ils détenaient au départ 125 euros pour l'un et 75 euros pour l'autre.

Avec trois joueurs et 120 euros à l'arrivée, ils avaient 195, 105 et 60 euros au départ.

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Voir	Partage – Énigmes classiques Partage en dix
Aussi	Énigmes en économie Jeux – Index Partage et dédommagement Partage lors d'un repas en commun Partage de Pascal
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