NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/12/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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Nombres complexes - DÉBUTANTS

Quand deux nombres s'associent pour multiplier les possibilités de calculs …

Le nombre complexe, un outil indispensable pour les électroniciens et tous ceux qui veulent modéliser les ondes.

Approche
L'histoire commence mal! On prétend qu'il existe des nombres dont la racine carrée serait négative. Ineptie !? Il est vrai que je sais calculer la racine carrée de 4. C'est 2, car 2 x 2 = 4. Plus malin, je sais aussi que le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif. Si bien que (–2) x (– 2) = 4 et, par conséquent, la racine carrée de 4 est aussi bien –2. Illustration

Astuces de contournement
Est-ce nécessaire de disposer de la racine d'un nombre négatif? Nous verrons que oui et que c'est même une admirable invention. Alors, on utilise deux astuces: le nombre négatif est transformé en ma multiplication d'un nombre positif par le nombre -1; la racine de -1 est notée i comme imaginaire (impossible, ineptie, invention …).

Attention

Les mathématiciens n'aiment pas dire que i = racine de moins 1.

Cette notation étant bien commode, nous continuerons à l'utiliser, comme beaucoup le font. Mémorisons simplement qu'il s'agit d'une notation pratique sans vouloir lui faire dire autre chose.

Racine des nombres négatifs Nombres imaginaires
Voici la liste des racines carrés des premiers nombres négatifs. Le principe est simple: c'est la même valeur que pour le nombre positif, associé au nombre imaginaire i.

Association de deux nombres Nombres complexes

Encore une idée! Comment est-elle née? Pourquoi ne pas associer un nombre normal (a) à un nombre imaginaire (i.b). L'un bien réel (a) continuerait à être représenté sur la droite des nombres réels (horizontale); et L'autre, imaginaire (i.b), aurait aussi sa droite, mais perpendiculaire à la précédente (verticale). Pratique! Je dispose d'un moyen pour désigner un point sur une feuille avec un système d'axes. Le nombre réel a est en abscisse et Le nombre imaginaire b est en ordonnée. Un mot à retenir: Le nombre complexe z = a + i.b est appelé l'affixe du point M.

Calculs – Exemples
Addition Les réels avec les réels et les imaginaires avec les imaginaires.
Multiplication Règle habituelle du produit de polynômes, mais avec l'effet de i² = – 1.
Produit réel Cette multiplication de deux nombres complexes se termine par un produit réel. Note: ces deux nombres sont appelés, l'un le conjugué de l'autre. La notion de conjugué est fort utile pour effectuer les divisions de nombres complexes.
Produits imaginaires Ces deux multiplications donnent des produits imaginaires.

Fractales
Aussi extraordinaire que cela vous paraisse, les dessins fractals les plus classiques sont obtenus en calculant le carré d'un nombre complexe. La répétition du calcul, selon le point de départ, produira deux effets: ou, le carré se dirige vers l'infini ou, le carré se stabilise sur une valeur. Coloriez cet effet et vous aurez le dessin d'une jolie fractale.

Suite en Fractales

Ça tourne
Il en faut peu pour s'embarquer dans un monde nouveau! Dessinez le cercle qui passe par M et vous pouvez caractériser la position du point M par le rayon du cercle ( rhô) et l'angle avec l'horizontale ( thêta). Alors nous nous retrouvons dans le monde de la trigonométrie. la longueur a est la valeur du cosinus de . la longueur a est la valeur du sinus de . Surprenant! En multipliant 1 par i, puis le résultat par i, on saute du monde imaginaire au monde réel, qu'ils soient positifs ou négatifs. Après quatre multiplications, on a fait un tour complet. i^2 = – 1 i^3 = – i i^4 = 1	Affixe de M décrit de deux façons: a + i. b (cartésien) (polaire)

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Équations
Une équation de degré 2 ou plus n'a pas toujours de solutions (racines) en nombres réels. Par contre, elle en toujours en nombres complexes.

English corner

A complex number can be represented by an expression of the form a + ib, where a and b are real numbers and i is a symbol with the property that i² = -1. The complex number a = ib can also be represented by the ordered pair (a, b) and plotted as a point in a plane, called Argand plane. The real part of the complex number a + ib is the real number a and the imaginary part is the real number b. In mathematics we use i (for imaginary) but in electronics they use j (because "i" already means current, and the next letter after i is j).

Il a les nombres réels et les nombres complexes

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