NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Types de NOMBRES

 

Débutants

Type de nombres

NOMBRES COMPLEXES

 

Glossaire

Complexes

 

 

INDEX

 

Complexes

 

Type de Nombres

 

Débutants

Introduction

Débutants

Imaginaires

Complexes

Duaux

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Astuce

>>> Racine des nombres négatifs: les imaginaires

>>> Association de deux nombres: les complexes

>>> Calculs – Exemples

>>> Fractale

>>> Ça tourne

>>> Équations

>>> Anglais

 

 

 

 

Nombres complexes - DÉBUTANTS

 

 

Quand deux nombres s'associent pour multiplier les possibilités de calculs …

Le nombre complexe, un outil indispensable pour les électroniciens et tous ceux qui veulent modéliser les ondes.

 

 

 

Approche

 

*    L'histoire commence mal! On prétend qu'il existe des nombres dont la racine carrée serait négative. Ineptie !?

 

*    Il est vrai que je sais calculer la racine carrée de 4. C'est 2, car 2 x 2 = 4.
Plus malin, je sais aussi que le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif. Si bien que  (–2) x (– 2) = 4 et, par conséquent, la racine carrée de 4 est aussi bien –2.


 Illustration

 

 

Astuces de contournement

 

*    Est-ce nécessaire de disposer de la racine d'un nombre négatif? Nous verrons que oui et que c'est même une admirable invention.

*    Alors, on utilise deux astuces:

*       le nombre négatif est transformé en ma multiplication d'un nombre positif par le nombre -1;

*       la racine de -1 est notée i comme imaginaire (impossible, ineptie, invention …).

 

 

 

 

Attention

Les mathématiciens n'aiment pas dire que i = racine de moins 1.

Cette notation étant bien commode, nous continuerons à l'utiliser, comme beaucoup le font. Mémorisons simplement qu'il s'agit d'une notation pratique sans vouloir lui faire dire autre chose.

 

 

Racine des nombres négatifs

Nombres imaginaires

 

*    Voici la liste des racines carrés des premiers nombres négatifs.

Le principe est simple: c'est la même valeur que pour le nombre positif, associé au nombre imaginaire i.

 

 

Association de deux nombres

Nombres complexes

 

*    Encore une idée! Comment est-elle née? Pourquoi ne pas associer un nombre normal (a) à un nombre imaginaire (i.b).

*                L'un bien réel (a) continuerait à être représenté sur la droite des nombres réels (horizontale); et

*                L'autre, imaginaire (i.b), aurait aussi sa droite, mais perpendiculaire à la précédente (verticale).

 

*    Pratique! Je dispose d'un moyen pour désigner un point sur une feuille avec un système d'axes.

*                Le nombre réel              a est en abscisse et

*                Le nombre imaginaire   b est en ordonnée.


 

*    Un mot à retenir:
Le nombre complexe z = a + i.b est appelé l'affixe du point M.

 

 

 

 

Calculs – Exemples

 

Addition

 

Les réels avec les réels et

les imaginaires avec les imaginaires.

 

Multiplication

 

Règle habituelle du produit de polynômes, mais avec l'effet de i² = – 1.

 

Produit réel

 

Cette multiplication de deux nombres complexes se termine par un produit réel.

 

Note: ces deux nombres sont appelés, l'un le conjugué de l'autre. La notion de conjugué est fort utile pour effectuer les divisions de nombres complexes.

 

Produits imaginaires

 

Ces deux multiplications donnent des  produits imaginaires.

 

 

 

Fractales  

 

*    Aussi extraordinaire que cela vous paraisse, les dessins fractals les plus classiques sont obtenus en calculant le carré d'un nombre complexe.

*    La répétition du calcul, selon le point de départ, produira deux effets:

*       ou, le carré se dirige vers l'infini

*       ou, le carré se stabilise sur une valeur.

*    Coloriez cet effet et vous aurez le dessin d'une jolie fractale.

Suite en Fractales

 

Ça tourne

 

*    Il en faut peu pour s'embarquer dans un monde nouveau!

*    Dessinez le cercle qui passe par M et vous pouvez caractériser la position du point M par le rayon du cercle ( rhô) et l'angle avec l'horizontale ( thêta).

*    Alors nous nous retrouvons dans le monde de la trigonométrie.

*       la longueur a est la valeur du cosinus de .

*       la longueur a est la valeur du sinus de .

 

 

 

 

*    Surprenant!
En multipliant 1 par i, puis le résultat par i, on saute du monde imaginaire au monde réel, qu'ils soient positifs ou négatifs.

*    Après quatre multiplications, on a fait un tour complet.

 

i2   =   – 1

i3   =   – i

i4   =     1

 

 

 

Affixe de M décrit de deux façons:

*         a     + i. b              (cartésien)

*       (polaire)

 

 

Suite en Représentation des nombres complexes / Puissance de l'imaginaire / Coordonnées polaires

 

 

Équations

*    Une équation de degré 2 ou plus n'a pas toujours de solutions (racines) en nombres réels.

*    Par contre, elle en toujours en nombres complexes.

 

 

 

English corner

 

*    A complex number can be represented by an expression of the form a + ib, where a and b are real numbers and i is a symbol with the property that i² = -1.

*    The complex number a  = ib can also be represented by the ordered pair (a, b) and plotted as a point in a plane, called Argand plane.

*    The real part of the complex number a + ib is the real number a and the imaginary part is the real number b.
 

*    In mathematics we use i (for imaginary) but in electronics they use j (because "i" already means current, and the next letter after i is j).

 

 

Il a les nombres réels   et les nombres complexes

 

 

Suite

*         Nombres imaginaires

*         Nombres complexes – Index

Voir

*         Types de nombres

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