NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 02/06/2015 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Nombres complexes
Débutants Complexes	Calculs			Glossaire Complexe
INDEX Complexes		Conjugués	Factorisation	Somme de carrés (1)
		Puissances	Calculs avec i	Somme de carrés (2)
		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Identité >>> Explications >>> Table

NOMBRES COMPLEXES

Somme de carrés

Amusement avec les nombres imaginaires pour former des sommes de deux carrés.

Où un passage par les complexes donne un résultat réel.

Voir page semblable: Identité de Brahmagupta – Fibonacci

Approche
Voyez ce tableau: Deux nombres (10 et 20) somme de deux carrés; et Leur produit (200) est une somme de deux carrés. 200 = 14² + 2² = 10 x 20 = (1² + 3²) (2² + 4²) En appliquant la recette indiquée, cela marche à tout coup! 493 = 22² + 3² = 17 x 29 = (1² + 4²) (2² + 45²)

Identité
La somme des carrés de deux nombres réels est égale au produit de deux nombres complexes conjugués. La magie de la recette donnée ci-dessus tient à cette identité!	a² + b² = (a + ib) (a – ib) En effet (a + ib) (a – ib) = a² + i ab – i ab – i² b² = a² + b²

Voir Identités complexes / Identités remarquables

Explications
Utilisons l'identité pour les deux petites sommes de carrés. Puis multiplions les résultats en groupant de la façon indiquée. On effectue le calcul des produits à droite et à gauche. On se souvient que i² = – 1. Et pour finir, on réutilise notre identité pour transformer le produit des conjuguées en une somme de deux carrés.

TABLE de quelques valeurs (<101)

(a² + b²) (c² + d²) = N = E² + F² a b c d N E F 1 1 1 2 10 3 1 1 1 1 3 20 4 2 1 2 1 2 25 4 3 1 1 2 3 26 5 1 1 1 1 4 34 5 3 1 1 2 4 40 6 2 1 2 2 2 40 1 1 3 4 50 7 1 1 2 1 3 50 5 5 1 1 1 5 52 6 4 1 1 2 5 58 7 3 1 2 2 3 65 8 1 65 7 4 1 1 3 5 68 8 2 1 1 1 6 74 7 5 1 1 2 6 80 8 4 1 3 2 2 80 1 1 4 5 82 9 1 1 2 1 4 85 7 6 85 9 2 1 1 3 6 90 9 3 1 2 3 3 90 1 1 1 7 100 8 6 1 1 5 5 100 1 2 2 4 100 1 3 1 3 100 En italique, cas où E ou F = 0 (possible si N est un carré) En rouge, première présentation double

Voir Suite de la table jusqu'à 500 / Table complète

Suite	Tables de nombres
Voir	Somme de deux carrés – présentation Somme de deux carrés – théorie Tables – Index Identité de Brahmagupta-Fibonacci
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/ImagSoCa.htm