NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 02/11/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Fraction x^k / (x^k – 1)

Que vaut un nombre à une certaine puissance divisé par lui-même diminué de un ?

Utile dans la démonstration de l'identité d'Euler

EXPRESSIONS
Diverses formulations Ces expressions sont équivalentes Nous allons chercher une autre manière de les exprimer en utilisant un développement en série.

CALCUL
Développement en série Nous allons effectuer la division. Bilan Série des inverses du nombre aux puissances multiples de k. Puissance en progression géométrique de raison k	Résultat

VALEURS

Calcul pour x = 2 et k = 2

Voici les dix premières itérations de la série:

5 / 4 1, 250000000

21 / 16 1, 312500000

85 / 64 1, 328125000

341 / 256 1, 332031250

1365 / 1024 1, 333007812

5461 / 4096 1, 333251953

21845 / 16384 1, 333312988

87381 / 65536 1, 333328247

349525 / 262144 1, 333332062

1398101 / 1048576 1, 333333015

Valeur selon x et k

x	2	3	4	5
k = 2	4/3 = 1, 333333333	9/8 = 1, 125000000	16/15 = 1, 066666667	25/24 = 1, 041666667
k = 3	8/7 = 1, 142857143	27/26 = 1, 038461538	64/63 = 1, 015873016	125/124 = 1, 008064516
k = 4	16/15 = 1, 066666667	81/80 = 1, 012500000	256/255 = 1, 003921569	625/624 = 1, 001602564

Voir Démonstration de l'identité d'Euler

Suite	Série harmonique pondérée Autres suites Série 1 + 2x + 3x² + ... Somme des entiers, des inverses… Carrés et somme des inverses Moyenne harmonique Paradoxe des dominos empilés Table des nombres harmoniques Nombres à moyenne harmonique Triangle de Leibniz
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