NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/10/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Spécial débutant

IDENTITÉ d'EULER

et

HYPOTHÈSE DE RIEMANN

Où il est question de relier les nombres entiers aux nombres premiers et d'étudier la répartition de ces nombres premiers.

APPROCHE
Il y ceux qui jouent la sécurité et qui montent à l'échelle barreau après barreau. Ce sont les nombres ENTIERS naturels >>> Et, il y a les sportifs qui jouent aux jeunes premiers. Ils montent les barreaux par deux, et parfois bien davantage Ce sont les nombres PREMIERS >>>
Vers 1730, Euler observe attentivement ces deux populations que tout oppose, et trouve curieusement une formule qui les relie.

Voir Expression quatre à quatre

OBSERVATIONS: DEUX MONDES QUE TOUT OPPOSE
Nombres entiers naturels 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 …	Nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …
Les nombres entiers se succèdent gentiment. Ils sont tous voisins l'un de l'autre. Il suffit d'ajouter 1 pour passer au suivant.	Les nombres premiers ne sont pas voisins. La distance entre eux varie considérablement selon les cas.
L'appartenance d'un nombre à la famille des entiers est reconnue immédiatement (banal !).	L'appartenance d'un nombre à la famille des premiers nécessite une recherche systématique. Recherche d'autant plus difficile que le nombre est grand. Jusqu'à devenir impossible avec nos connaissances et moyens d'aujourd'hui.
Les nombres entiers sont familiers des jeux avec L'ADDITION: 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 La quantité de partitions d'un nombre est de plus en plus grande lorsque le nombre croît.	Les nombres premiers sont familiers des jeux avec la MULTIPLICATION 5 = 1 x 5 – Nombre premier 21 = 1 x 3 x 7 – Nombre composé Tout nombre est le produit unique de nombres premiers - Théorème fondamental de l'arithmétique.

IDENTITÉ d'EULER:

UN PONT ENTRE LES DEUX MONDES

Euler remarque (et démontre) que:

1	+	1	+	1	+	1	+ …	=	4	x	9	x	25	x	49	x …
1		4		9		16			3		8		24		48

Ou, écrit autrement:

1

+

1

+

1

+

1

+ …

=

2²

x

3²

x

5²

x

7²

x …

1²

2²

3²

4²

2² - 1

3² - 1

5² - 1

7² - 1

Les inverses des nombres entiers au carré.

Les nombres premiers au carré, divisé par ce carré moins un.

Égalité mystérieuse et magique, et ce n'est pas fini!

L'égalité est vraie pour les nombres au carré, comme indiqué ci-dessus.

Elle vraie aussi pour toutes les puissances plus grandes des nombres:

Identité d'Euler

1

+

1

+

1

+

1

+ …

=

2^s

x

3^s

x

5^s

x

7^s

x …

1^s

2^s

3^s

4^s

2^s - 1

3^s - 1

5^s - 1

7^s - 1

Identité, car l'égalité est vraie pour toute les valeurs de s

Une équation n'est vraie que pour certaines valeurs de s, que, généralement, on cherche à trouver.

Inverse en anglais: reciprocal

APPLICATION: UNE CLÉ POUR COMPRENDRE LES NOMBRES PREMIERS ?

Cette identité est suspectée de donner une explication de la répartition des nombres premiers:

En effet, mais pour cela, il faut la transformer un peu.

La puissance s utilisée dans la formule doit être remplacée par un nombre complexe: z = a + ib

C'est alors la fonction zêta de Riemann:

(z) =	1	+	1	+	1	+	1	+ …
	1^z		2^z		3^z		4^z

Et, en 1859, Bernhard Riemann émit l'hypothèse que cette fonction témoigne de la répartition des nombres premiers.
Cette idée semble vraie. Du moins il n'existe pas un seul contre-exemple, malgré les dizaines de mathématiciens qui l'ont étudiée depuis un siècle et demi

Prouver cette hypothèse est devenu un grand défi pour les mathématiciens.Sans doute du même ordre que celui qui a poussé à prouver le théorème de Fermat - Wiles, mais, cette fois, avec beaucoup plus de retombées mathématiques à la clé.

Vous noterez que cette identité d'Euler donne une relation qui compare globalement les entiers aux premiers.
Ce n'est pas une formule qui lie chacun des uns avec chacun des autres. C'est un peu comme une image hologramme des uns par les autres.
Même avec cette relation, personne ne sait calculer à quelle distance se trouve un nombre premier de son voisin.

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