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Mathématiques des Carrés Magiques

La méthode de l'échelle alternée

Soit un carré gréco-latin dont les couples sont composés de nombres simplement alternés. Quel est le résultat? On s'approche grandement d'un carré magique de Franklin.

Carré à échelle alternée
Le premier carré est rempli avec nombres (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). ces nombres sont d'abord placés en alternant colonne 1 et colonne 2 puis, même chose en remontant. cette opération est répétée sur les colonnes suivantes. Le deuxième carré est rempli avec nombres (0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 52). ces nombres sont d'abord placés en alternant ligne 1 et ligne 2 puis, même chose en retournant vers la gauche. cette opération est répétée sur les lignes suivantes. Le troisième carré est simplement la somme de ces deux premiers carrés: chaque cellule est la somme des deux cellules correspondantes.	Ce carré magique n'est pas magique, mais s'en rapproche.

Propriétés du carré à échelle alternée
Ce carré construit aussi simplement se rapproche d'un carré magique, ou mieux d'un carré de Benjamin Franklin. Ce carré déroge en vertical: il faut faire la somme sur deux colonnes pour trouve deux fois la somme magique. On se souvient que les diagonales ne sont pas magiques dans les carrés de Franklin; ce sont les semi-pandiagonales qui le sont.	Lignes horizontales: 260 (8 cas) Lignes verticales par deux: 2 x 260 (4 cas)
Semi-pandiagonales: 260 (96 cas) Dans ce simple carré, on retrouve les quatre-vingt-seize cas de sommes magique sur les semi-pandiagonales.		Toutes les semi-diagonales en rouge les sommes 260
Carré 2x2 : 130 (8 x 8 cas) y compris le carré central et la somme des quatre coins.

Carré de Franklin

Nous venons de voir qu'il en faut peut pour obtenir un carré magique de Franklin. C'est le cas: une simple inversion sur le premier carré va suffire. Interversions sur les deux premières colonnes du premier carré Les deux carrés composant le carré gréco-latin Note: le premier tableau correspond aux restes de la divisons par 8, alors que le second correspond aux quotients multipliés par 8. Le carré magique 8x8 de Benjamin Franklin Note: par rapport au précédent (presque Franklin), celui-ci a, en plus, toutes ses colonnes magiques et ses deux diagonales qui, ensemble, donnent le double de la somme magique.

Voir Carrés de Franklin

Bilan

Cette méthode est généralisable aux autres carrés de type Franklin.

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