NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Formation des carrés magiques

>>> Historique

 

 

 

Carrés latins

et Carrés MAGIQUES

 

 

Comment les carrés latins servent de base à la construction des carrés magiques.

Voir Introduction

 

 

 

FORMATION DES CARRÉS MAGIQUES

 

*    On utilise des additions ou des combinaisons linéaires de carrés latins.

*    Les carrés latins sont orthogonaux, comme dans la formation du carré gréco-romain.

*    Dans l'exemple suivant, la formule utilisée est:

 

N = 5A + B + I

 

2

3

4

0

1

4

0

1

2

3

1

1

1

1

1

0

1

2

3

4

1

2

3

4

0

1

1

1

1

1

3

4

0

1

2

3

4

0

1

2

1

1

1

1

1

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

1

1

1

1

1

4

0

1

2

3

2

3

4

0

1

1

1

1

1

1

5 x  (      A           +             B                   +             I   )

 

15

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22

3

9

2

8

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21

19

25

1

7

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24

5

23

4

10

11

17

= N

 

*    La combinaison A, B est eulérienne ou orthogonale.

*    N, somme composée de deux carrés latins orthogonaux, est pan magique.

 

 

Réciproquement

*    Presque tous les carrés pan magique sont décomposables en deux carrés latins orthogonaux: ceux qui possèdent cette propriété sont dits réguliers.

 

 

 

 

 

Exemple de carré irrégulier et carrés latins associés

 

 N = 7A + B + 1

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 1

8

19

25

35

39

48

 

0

1

2

3

4

5

6

 

0

0

4

3

6

3

5

31

41

44

2

12

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28

 

4

5

6

0

1

2

3

 

2

5

1

1

4

2

6

11

21

24

33

37

43

6

 

1

2

3

4

5

6

0

 

3

6

2

4

1

0

5

36

47

4

14

18

26

30

 

5

6

0

1

2

3

4

 

0

4

3

6

3

4

1

20

23

29

40

46

7

10

 

2

3

4

5

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0

1

 

5

1

0

4

3

6

2

49

3

13

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22

34

38

 

6

0

1

2

3

4

5

 

6

2

5

1

0

5

2

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32

42

45

5

9

15

 

3

4

5

6

0

1

2

 

5

3

6

2

4

1

0

 

 

 

 

Historique

 

*    Cette méthode de construction est connue comme la méthode de De la Hire.

*    Elle consiste en la création de deux carrés latins orthogonaux.

*    L'un étant la rotation ou la réflexion de l'autre.

*    Un arrangement approprié des nombres engendre un carré magique.

*    Vers 1960 et grâce à cette méthode, Parker, Bose, et Shrikhande ont construit un carré magique d'ordre 10, infirmant la conjecture d'Euler affirmant que les carrés gréco-latins d'ordre 2n + 2 n'existaient pas.

Voir Contribution d'Euler

 

 

 

 

 

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