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Méthode de PHERU

Vers 1315, l'Indien Thakkura Pheru propose une méthode de construction des carrés magique d'ordre impair.

C'est la première publication indienne connue à ce jour.

Méthode proche de celle du cavalier

Voir approche en Observation sur carré d'ordre 3 / Truc de B. Franklin

Méthode avec le carré 3 x 3

Étape 1

Construction de la colonne centrale:

Placez le 1 au milieu en bas.

Chaque nombre au dessus est en progression arithmétique de 4 (= n + 1).

Étape 2

Construction des deux parties latérales:

Utilisez la méthode du cavalier pour placer un nombre +3 (= n). Ainsi le 1 donne 4.

Pour placer un nombre qui sort du carré on procède par enroulement, méthode dite du tapis. Ainsi le 8 prend position dans le coin bas gauche.

Un nombre qui dépasse 9 (= n²) est diminué de 9, principe du modulo. Ainsi 12 devient 3.

9

5

1

Colonne centrale

Mouvement du cavalier

7	12
6	8	10
11	4	9	2
	3	5	7
	8	1	6

Remplissage complet avec illustration

de l'effet d'enroulement

Méthode avec le carré 5 x 5

Étape 1

Construction de la colonne centrale:

Placez le 1 au milieu en bas.

Chaque nombre au dessus est en progression arithmétique de 6 (= n + 1).

Le nombre en haut doit être 25 (= n²).

Étape 2

Construction des deux parties latérales:

Cavalier: le 1 donne 6, etc.

Méthode dite du tapis

Modulo 25 (=n²).

Propriétés de ce carré magique

Il est associatif,
mais pas panmagique

Les nombres successifs se retrouvent sur une diagonale descendante de gauche à droite

Sauf pour les multiples de 5 (= n) qui se trouvent un cran au-dessus.

25

19

13

7

1

11	18	25
10	12	19
4	6	13
23	5	7
17	24	1

11	18	25	2	9
10	12	19	21	3
4	6	13	20	22
23	5	7	14	16
17	24	1	8	15

Carré magique 7 x 7

22	31	40	49	2	11	20
21	23	32	41	43	3	12
13	15	24	33	42	44	4
5	14	16	25	34	36	45
46	6	8	17	26	35	37
38	47	7	9	18	27	29
30	39	48	1	10	19	28

Somme magique: 175

Associatif, mais pas panmagique.

Carré magique 9 x 9

37	48	59	70	81	2	13	24	35
36	38	49	60	71	73	3	14	25
26	28	39	50	61	72	74	4	15
16	27	29	40	51	62	64	75	5
6	17	19	30	41	52	63	65	76
77	7	18	20	31	42	53	55	66
67	78	8	10	21	32	43	54	56
57	68	79	9	11	22	33	44	46
47	58	69	80	1	12	23	34	45

Somme magique: 369

Associatif, mais pas panmagique.

Carré magique 11 x 11
Somme magique: 671 Associatif, mais pas panmagique.

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