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	Carrés magiques
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Carrés magiques GIGOGNES

ou CONCENTRIQUES

Carrés magiques à l'intérieur d'un carré magique, comme l'emboitement des poupées russes.

Occasion de découvrir une nouvelle méthode pour construire des carrés magiques d'ordre pair.

Anglais: Bordered or concentric magic squares

Carrés magiques gigognes

Carré magique qui reste magique si on lui retire sa couronne extérieure.

Exemple

Grand carré: carré magique (diabolique) d'ordre 5:

Nombres de 1 à 25,

Somme magique 65.

Carré au centre: carré magique (jaune) d'ordre 3:

Nombres de 9 à 17,

Somme magique 39.

Il est parfait si les nombres du carré central sont consécutifs.

23	8	5	4	25
20	14	15	10	6
19	9	13	17	7
2	16	11	12	24
1	18	21	22	3

19	2	20	1	23
4	16	9	14	22
18	11	13	15	8
21	12	17	10	5
3	24	6	25	7

2	23	25	7	8
4	16	9	14	22
21	11	13	15	5
20	12	17	10	6
18	3	1	19	24

Carrés magiques 5x5 gigognes parfaits.

Exemple de carré magique 6x6 gigogne parfait

Exemple de carré magique 7x7 gigogne parfait

Voir Carré gigogne d'ordre 7

Exemple de carré magique 8x8 tri-gigogne parfait

Exemple de carré magique 9x9 quadri-gigogne parfait Carré réalisé par Frénicle de Bessy (1602-1675) À gauche, les nombres utilisés dans chacune des couronnes.

Exemple de carré magique 10x10 quadri-gigogne parfait

Voir Carrés magiques 5x5 / Carrés 6x6 / Carrés 8x8 / Carré 10x10

Carré gigogne de Fermat 14x14

														1379
1	2	185	186	5	6	7	190	191	192	11	194	195	14	1379
15	16	26	25	24	177	176	175	174	173	172	171	27	28	1379	985
42	156	31	165	159	34	35	162	37	164	158	40	167	29	1379	985
56	142	152	46	52	149	148	147	146	47	53	45	153	43	1379	985	591
57	128	59	130	61	135	134	63	132	66	137	68	139	70	1379	985	591
71	125	73	123	122	76	120	119	79	75	116	82	114	84	1379	985	591
85	111	96	109	108	107	91	92	90	103	102	87	100	98	1379	985	591
112	97	110	95	89	93	105	106	104	94	88	101	86	99	1379	985	591
126	83	115	81	80	118	77	78	121	117	74	124	72	113	1379	985	591
140	69	138	60	131	62	64	133	65	136	67	129	58	127	1379	985	591
141	55	54	144	150	51	50	49	48	145	151	143	44	154	1379	985	591
168	41	157	32	33	160	161	36	163	38	39	166	30	155	1379	985
182	170	180	179	178	23	22	21	20	19	18	17	181	169	1379	985
183	184	3	4	187	188	189	8	9	10	193	12	13	196	1379
1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379	1379
		985	985	985	985	985	985	985	985	985	985
				591	591	591	591	591	591

Voir Carré magique gigogne 25x25

Propriétés
Les carrés magiques gigognes, même pour le seul ordre 5, sont très nombreux. Si le grand carré magique est normal (nombre de 1 à n²), celui (ou ceux) du centre n'est pas normal (ne sont pas normaux). À tout carré magique d'ordre n, il est possible d'ajouter une couronne de nombres tout en créant un carré magique supplémentaire d'ordre n+2.

Construction par la méthode gigogne
D'un carré d'ordre 4 nous allons passer à un carré d'ordre n = 6. Sa somme magique est égale à : ½ n (n² + 1) = 3 x 37 = 111.
Prenons un carré magique d'ordre 4. Sa somme magique est égale à 34. Ajoutons 2 x 6 – 2 = 10 pour passer de l'ordre 4 à l'ordre n = 6. (Il faut soustraire 2n – 2). Nous utilisons, de ce fait, les nombres de 11 à 26 et la nouvelle somme magique est égale à 74.	Avec les nombres de 1 à 10 et de 27 à 36 complétons la couronne de manière à obtenir soit la somme magique de 111, soit le complément de 74 à 111, selon le cas. Nombreuses possibilités. Plaçons le nouveau carré d'ordre 4 à l'intérieur de la couronne. Ce carré d'ordre 6 est magique et gigogne.

Voir Autres méthodes de construction

ENGLISH CORNER
When a border (or borders) is removed from a bordered magic square, the square is still magic with consecutive numbers. If the numbers are not consecutive, the square is called concentric magic square.

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