NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Carrés magiques

 

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Carrés magiques

 

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Sommaire de cette page

>>> Calcul de la somme magique

>>> Valeurs de la somme magique

>>> Constante selon la dimension

>>> Carré magique généralisé (décalé)

>>> Rappel  sur le calcul de la somme des entiers

>>> Somme des extrémités des diamètres

>>> Propriétés

>>> Anglais

 

 

 

 

CONSTANTE MAGIQUE

selon l'ordre du carré magique

 

Il s'agit de faire la somme S de tous les nombres de 1 à n²

si n est l'ordre du carré magique.

Cette somme est répartie à égalité sur n rangées.

 

Alors, la somme magique N est égale à S / n.

 

 

Calcul

*  Si n est

*    la quantité de lignes ou

*    la quantité de colonnes ou

*    le côté du carré magique

appelé ordre du carré magique.

*  Un carré magique normal utilise tous les nombres de 1 à n².

*  La somme de tous ces nombres placés dans le carré magique vaut S.

*  Or, ces nombres sont répartis sur n lignes, donc, la somme N sur chaque ligne vaut S / n.

 

Nombres de 1 à n² dans le carré: leur somme S = n x N.

 

Somme des nombres de 1 à n²:
S = ½ (n²) (n²+ 1).

 

Somme sur la ligne: N = S / n
N = ½ n (n² + 1) = ½ (n3 + n)

 

 

 

Valeurs de la constante magique

 Ordre   Somme magique

  3        15

  4        34

  5        65

  6      111

  7      175

  8      260

  9      369

 

10      505

11      671

12      870

13   1105

14   1379

15   1695

16   2056

17   2465

18   2925

19   3439

20   4010

 

Liste

0, 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695, 2056, 2465, 2925, 3439, 4010, 4641, 5335, 6095, 6924, 7825, 8801, 9855, 10990, 12209, 13515, 14911, 16400, 17985, 19669, 21455, 23346, 25345, 27455, 29679, 32020, 34481, 37065, 39775,    OEIS A006003

 

Ces nombres en ½ n(n² + 1) sont aussi la somme d'un nombre n croissant de nombres successifs comme:

 

Ce sont aussi la somme des nombres entre deux nombres triangulaires successifs, le plus grand compris:
    Ex: T7 = 28 et T8 = 36  =>  29 + 30 + 31 + 32+ 33 + 34 +35 + 36 = 260

 

Également la somme de trois coefficients binomiaux successifs:
 

      Ex: n = 5 =>

 

C'est aussi la somme des diagonales du carré des entiers.

 

 

Notation mathématiques de la somme magique:

Soit, le demi-produit de n par la somme des nombres k pour tous les k de 1 à n au carré.

 

Petite analyse de la progression de cette somme

 

*  La progression de la constant magique d'un ordre au suivant n'est pas simple.

2Nn               = n (n² + 1)

2Nn+1            = (n + 1) ((n + 1)² + 1)

2Nn+1 – 2Nn = (n + 1) ((n + 1)² + 1) – n (n² + 1)

  Nn+1   Nn  = ½ (3n² + 3n + 2)

 

*  Progression de deux en deux

2Nn+1 – 2Nn-1 = (n + 1) ((n + 1)² + 1) – (n - 1) ((n - 1)² + 1)

  Nn+1   Nn-1 = 3n² + 2

 

 

*   Somme de trois constantes magiques consécutives

2S = (n - 1) ((n - 1)² + 1) + n (n² + 1) + (n + 1) ((n + 1)² + 1)

  S3 = ½ (3n3 + 9n)

 

 

Voir Somme magique de l'hexagone / Brève 56-1107

 

   

 

Constantes selon la dimension

 

*    Carré:                  S  = ½ n (n2 + 1)

*    Cube                   S  = ½ n (n3 + 1)

*    Hypercube         S  = ½ n (n4 + 1)

*    Dimension d      S  = ½ n (nd + 1)

 

 

 

Carré magique généralisé (décalé)

 

Carrés magiques avec

*    un premier nombre égal au premier nombre classique (1) et un supplément de a, soit 1 + a , et

*    une progression régulière de r pour les suivants.

 

Rappel: le A inversé veut dire quelconque.

 

Exemple 1: a  = 10 et r  = 3 pour un carré 3x3

 

6

1

8

15

 

 

16

11

18

45

7

5

3

15

+10

 

17

15

13

45

2

9

4

15

 

 

12

19

14

45

15

15

15

15

15

 

45

45

45

45

45

 

 

+10

 

28

13

34

75

x 3

 

31

25

19

75

 

 

16

37

22

75

 

75

75

75

75

75

 

*    Départ: carré magique d'ordre 3, constante 15

*    Plus 10 sur chaque terme, constante 15 + 3 x 10 = 45

*    Trois fois chaque terme plus 10, constante 3 x 15 + 3 x 10 = 75

 

Exemple 3: a  = 3 et r  = 5

Chaque nombre t du carré classique devient T = 5t + 3 (fonction linéaire)

 

6

1

8

33

8

43

7

5

3

38

28

18

2

9

4

13

48

23

 

*    Départ: carré magique d'ordre 3, constante 15.

*    n fois 5 sur chaque terme, plus 3.

*    Nouveau carré magique avec les nombres allant

de 8 = 1 x 5  + 3
à 48 = 9 x 5 +  3

*    Sa somme magique vaut: 84, trois fois le terme central 28.

*    Il reste associatif de somme 56, deux fois le terme central.

 

Calcul

*    Les nombres sont en progression arithmétique.

*    Ils commencent par D = r + a Ici: 5 + 3 = 8, et

*    Ils finissent par r. n² + a  Ici: 5 x 9 + 3 = 48.

*    La somme des nombres d'une progression arithmétique vaut le demi-produit de la quantité de termes Rappel: c'est n² par la somme des extrémités, début et fin: S = ½ n² (D + F).

*    Cette somme est répartie à égalité sur n rangées, soit la somme magique pour une rangée: N = S / n.

*    D'où la formule finale:

         N = ½ n [ r + a  + r . n² + a ]

         N = ½ n [ 2a + r (n² + 1) ]

         N = ½ r.n(n² + 1) + n.a

        Ici: ½ 3 (2 x 3 + 5 (3² + 1) ) = ½ 3 (6 + 50) = 84.

 

 

 

2016 – Exemple d'application

Comment trouver un carré magique 3x3 avec des nombres successifs dont la constante magique est 2016.

La somme vaut: 2016 = ½ 3 (9 + 1) + 3a = 3a + 15

Ou encore: 2016 = 3 x 672 = 3a + 3 x 5

Soit la valeur: a = 672 – 5 = 667.

Et le nombre initial: a + 1 = 668

Voir Nombre et année 2016

 

 

Rappel

Calcul de la somme des nombres

 

*  Pour calculer cette somme simplement, on procède comme Gauss lorsqu'il était encore enfant, on ajoute les chiffres deux par deux de la manière indiquée.

*  Voici l'exemple pour les nombres de 1 à 9:

 

1

 

 

 

 

 

 

 

+9

= 10

 

+2

 

 

 

 

 

+8

 

= 10

 

 

+3

 

 

 

+7

 

 

= 10

 

 

 

+4

 

+6

 

 

 

= 10

 

 

 

 

+5

 

 

 

 

=   5

1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

+8

+9

= 45

 

 

Voir Nombre triangulaires

 

 

 

Somme des extrémités des diamètres

 

*  Pour certains carrés magiques, la somme des deux nombres à l'extrémité d'une ligne, colonne ou diagonale est constante.

 

*  Elle est égale au double du nombre central, qui est aussi la somme des plus petits et plus grands nombres utilisés (n² + 1).

 

*  Ces carrés sont dits ASSOCIATIFS.

 

 

 

Cas du carré classique d'ordre 3

 

6

1

8

7

5

3

2

9

4

 

6

+

4

=

10

7

+

3

=

10

8

+

2

=

10

1

+

9

=

10

5

x

2

=

10

 

 

Propriétés

 

Carré associatif d'ordre impair

 

*  La somme de deux termes diamétralement opposés vaut  la somme des deux nombres extrêmes: n² + 1.

*  Le terme central vaut la moitié de cette somme.

 

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

Magic constant or magic sum: the sum produced by addition of all numbers on a row, or a column or a diagonal.

 

 

 

 

 

 

 

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