NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 20/10/2020

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths

 

Puissances

 

Débutants

Logarithmes

Triplets de Pythagore

 

Glossaire

Puissances

 

 

Rubrique

PARTITION

 

INDEX PUISSANCES

 

Introduction

Propriétés

Cercle

Historique

Primitif

Génération

Matrice

Spéciaux

Illustration

Triangles

Briques

Calculs

Avec un carré

TABLES

 

Sommaire de cette page

>>> Tableau pour 1 à 25

>>> Tableau - construction

>>> Dessins

>>> Dessins - programme

>>> Cercle unité

 

 

 

 

TRIPLETS de PYTHAGORE

Illustration

 

 

*    Il est tentant de visualiser les triplets sur un système d'axes.

*    Sont-ils nombreux?

*    Comment remplissent-ils le plan?

*    Ce peut être aussi l'occasion d'excellents travaux pratiques avec un tableur.

 

 

 

   

TABLEAU pour 1 à 25

25                                                                                                                      

24                               25          26                                   30                             

23                                                                                                                      

22                                                                                                                      

21                                                                                              29                    

20                                                                      25                         29              

19                                                                                                                      

18                                                                                                                   30

17                                                                                                                      

16                                                       20                                                          

15                                   17                                                       25                    

14                                                                                                                      

13                                                                                                                      

12                     13               15                              20                                       

11                                                                                                                      

10                                                                                                                  26

9                                                         15                                                           

8                            10                                        17                                            

7                                                                                                                    25

6                                     10                                                                              

5                                                         13                                                          

4             5                                                                                                         

3                  5                                                                                                    

2                                                                                                                        

1                                                                                                                        

     1   2   3   4   5   6   7   8   9   10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

 

 

Exemple:

12² (abscisse) + 5² (ordonnée) = 13² (valeur indiquée à l'intersection).

On retrouve, bien sûr, chaque triplet et son symétrique.

On observe la ligne oblique  5, 10, 15 … des triplets multiples du premier

(et la ligne symétrique par rapport à la diagonale).

 

 

 

TABLEAU – Construction

 

 

Axes

*       Tapez 1 puis 2 sur une ligne.

*       Même chose en colonne.

*       Marquez les cellules 1 et 2 (cliquez dessus).

*       Pointez sur l'ancre en bas à droite.

*       En restant appuyé sur le bouton gauche de la souris tirez vers la droite jusqu'à obtenir 25, les valeurs suivantes jusqu'à 25 s'affichent automatiquement.

*       Même chose pour les colonnes en tirant l'ancre vers le haut.

2

 

 

1

 

 

 

1

2

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

…

 

Formule

*       Calcul.

 

*       Condition.

 

Valeur de la ligne(L) au carré plus valeur de la colonne (C) donne le carré de l'hypoténuse (H)

L² + C² = H²

H = RACINE (L² + C²)

Inscrire H que si sa valeur est entière

 

Cellule de départ

*       Supposons que nous commencions comme indiqué.

*       La première cellule à calculer est B100.

 

Calcul de H

*       Nous utilisons notre formule.

*       Cependant, si nous voulons une expression applicable aux autres cellules, il faut indiquer que la ligne à utiliser est la 101 et la colonne est la A.

*       Pour cela, les tableurs disposent de la fonction adresse absolue symbolisée par le signe dollar.

 

H entier ?

*       Le moyen consiste à vérifier si H est égal à sa valeur sans décimales (tronquée).

 

 

 

 

 

A

B

C

 

 

 

 

99

2

 

 

100

1

H

 

101

 

1

2

 

 

H = RACINE(A100*A100+B101*B101)

 

 

H = RACINE($A100*$A100+B$101*B$101)

 

 

 

RACINE($A100*$A100+B$101*B$101) -

TRONQUE (RACINE($A100*$A100+B$101*B$101) )

= 0 ?

 

 

 

Programmation

 

*       Attention, il faut procéder avec méthode.

*       Voici la formule en clair, puis en programmation.

 

SI(

H est entier

Inscrire H

Sinon Inscrire Blanc

)

SI(

RACINE($A100*$A100+B$101*B$101) -

TRONQUE (RACINE($A100*$A100+B$101*B$101) ) = 0;

 

 

 

 

 

RACINE($A100*$A100+B$101*B$101);

 

 

 

 

 

" "

)

Tapez "espace" entre les deux guillemets

 

*       Soit l'expression à recopier dans la cellule:

SI(RACINE($A100*$A100+B$101*B$101) - TRONQUE (RACINE($A100*$A100+B$101*B$101)) = 0;RACINE($A100*$A100+B$101*B$101); " ")

 

*       Pour étendre la formule à toutes les autres:

*    Marquez la cellule B100 et tirez l'ancre en bas à droite vers la droite pour toute la ligne

*    Marquez toutes les cellules de la ligne et tirez l'ancre vers le haut pour toutes les lignes

*       C'est fini!

 

 

 

DESSINS

 

Primitifs sur cette colonne

Tous sur cette colonne

Quantité de points: 2 x 6

2 x 11

2 x 18

2 x 63

2 x 179

2 x 1034

Il n'est pas étonnant de voir une tendance à former des cercles (ellipses) dont l'équation est x² + y² = R.

Il n'est pas étonnant de voir apparaître  des droites

Ce sont les multiples des triplets primitifs.

 

 

 

DESSIN – Programme pour obtenir les dessins ci-dessus

 

 

Principe

*       On reprend le calcul ci-dessus en langage Mapple.

*       La fonction "dessin de points" (poinplot) est utilisée.

*       Toute la séquence des points à dessiner sont à lui fournir en une seule fois.

*       Nous allons calculer tous les points et les mémoriser.

*       Nous définissons deux séquences: une séquence pour les X et une pour les Y

*       Le rang k dans la séquence donne les coordonnées d'un point-triplet.

X

n°1

n°2

…

n°k

 

Y

n°1

n°2

…

n°k

 

Programme

Initialisation

*       # permet d'introduire un commentaire (ici le titre du programme).

*       kt est un compteur de triplets.

*       mx est la valeur maximum de l'exploration.

*       X est la mémoire de la séquence des x des triplets.

*       Y est la mémoire de la séquence des y des triplets.

*       array est l'instruction qui réserve mx cases de mémoire.

 

Mise à zéro des mémoires

*       Boucle en i pour mettre toutes les cases mémoire de X à zéro.

*       Idem en j pour Y.

 

Recherche des triplets

*       Pointeur de triplet k placé à 1 pour commencer.

*       Double boucle d'exploration en i et j jusqu'à la valeur maximale d'exploration.

*       Test si i et j sont premiers entre eux. Leur plus grand commun diviseur (greatest common divisor - gcd) doit être égal à 1.

*       Calcul de h.

*       Test si h est entier.

*       Si c'est le cas, les valeurs de i et j sont placés dans X et Y en position k (k vaut 1 pour le premier triplet).

*       Le pointeur k est positionné pour le prochain triplet.

*       Le compteur de triplets kt enregistre qu'un nouveau triplet a été trouvé.

*       fi (c'est if à l'envers) et od (c'est do à l'envers) indiquent la fin des tests et des boucles.

 

 Dessin

*       La séquence des points est placée dans une mémoire nommée "points".

*       L'instruction "dessin de point" est appelée avec:

*    la séquence des points à dessiner en points,

*    les axes façon entourée (boxed),

*    la couleur rouge (red), et

*    le symbole carré (box).

 

Décompte

*       kt; permet l'impression de la valeur finale du compteur de triplets.

*       Le ";" permet l'impression alors que ":" bloque l'impression des données en cours de calcul.

 

 

 

#triplets primitifs

 

kt:= 0:

mx:= 100:

X:= array(1..mx):

Y:= array(1..mx):

 

 

 

for i from 1 to mx do X[i]:=0: od:

for j from 1 to mx do Y[i]:=0: od:

 

 

 

 

 

k:=1:

for i from 1 to mx do

for j from 1 to mx do

 

if gcd(i,j)=1 then

  h:=sqrt(i*i+j*j):

  if h - trunc(h) = 0 then

     X[k]:= i:

     Y[k]:= j:

 

     k:=k+1:

     kt:=kt+1:

  fi:

fi:od:od:

 

 

 

points:= { seq([X[i],Y[i]],i=1..k) }:

 

pointplot(points, axes=BOXED,

          color=red, symbol=box):

 

 

 

kt;

 

 

 

 

Suite

*    Triplets- triangles

*    Cercle unité et triplets

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Années Pythagore

*    Décade de Pythagore

*    Programmation

*    Pythagore – Biographie

Site

*      Pythagorean Triple de Eric Weisstein

*     Some Unique Pythagorean Triples And Some Ways To Work With Them by William V. Thayer

Cette page

*      http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/TripIllu.htm