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Édition du: 02/06/2022

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Paradoxe du carré manquant

(Lewis Carrol)

 

Découpage d'un carré (ou rectangle). Curieusement en réunissant les pièces d'une autre façon, il existe un trou, un carré manquant.

  

 

Sommaire de cette page

>>> Puzzle- Le carré

>>> Explications

>>> Puzzle – Le triangle

>>> Puzzle – Dans le carré

 

Débutants

Énigmes

 

Glossaire

Nombres

 

 

 LEWIS CARROLL

 

Charles Lutwidge Dodgson, pseudonyme Lewis Carroll (1832-1898)Lewis_Carroll

Célèbre pour la création du personnage:

Alice, soumise à des situations déconcertantes

"Alice in Wonderland"

Alice au pays des merveilles

Mise à l'épreuve de la logique! Mystères et paradoxes

 

 

PUZZLE – Le carré

haut

 

Construction

Prenons un carré de 8 x 8.

Découpons deux triangles rectangles et deux trapèzes comme indiqué.

 

Nous nous proposons de transformer ce carré en rectangle à l'aide de ces quatre pièces; la solution n'est pas bien difficile

 

Seulement voilà, il y a un air (ou une aire) de mystère!

 

 

Aire du carré: 8 x 8 = 64

Aire du rectangle: 13 x 5 = 65.
65 – 64 = 1

 

Nous avons réussi à créer une surface plus grande d'une unité. Où est ce mystère?

Dans le dessin de la diagonale AD.

 

 

 

  

 

Explications

haut

 

Diagonale ?

Calculons la pente des segments qui forment la diagonale:

 

p AB = p CD = 2 / 5 = 0,4

p BD = p AC = 3 / 8 = 0,375

p AD =           5 / 13 = 0,384

 

 

 

Ces pentes sont toutes différentes!

Un dessin précis montre qu'il existe un petit jour en forme de parallélogramme très effilé le long de la diagonale.

 

On remarque que les nombres donnant la dimension des pièces (3, 5, 8 et 13) constituent une suite de Fibonacci (impliquant aussi le nombre d'or, Phi)

Pour des nombres de Fibonacci plus grands, la différence serait encore plus difficile à discerner, (le parallélogramme serait encore plus effilé) car ils donneraient une meilleure approximation de Phi.

 

 

Dessin précis avec GeoGebra

 

 

 

PUZZLE – Le triangle

haut

 

Construction

 

Avec les mêmes nombres de Fibonacci (3, 5, 8 et 13), on peut former des triangles paradoxaux, et mettre en valeur l'aire unité qui flotte.

 

 

 

Carré manquant

 

 

Explication

Le dessin montre que la diagonale ne passe pas par un point de la grille pour x = 5 et pour x = 8.

Donc un découpage fallacieux au départ !

 

Calcul des ordonnées des points indiqués

x

y

et non pas

5

1,923

2

8

3,077

3

 

 

 

PUZZLE – Dans un carré

haut

 

Paradoxe

Avec le même découpage en carrés et triangles formant un carré, un nouvel assemblage recomposant le carré fait apparaitre un trou carré.

Explication ?

Comme précédemment, les dimensions sont proches mais pas exactement les mêmes.

 

 

 

 

Explications

On prend l'aire du carré comme invariant.

En se donnant a et b pour la seconde figure et, via l'aire commune, on va en déduire la valeur de b' dans la première figure.

Il nous faudra d'abord connaitre la taille des triangles rectangles (valeur de x).

  

Résumé de la recherche

 

 

Valeur de x

 

 

Longueur de la diagonale D et AIRE

 

Valeur de b'

 

Figures et notations

Conclusion

Pour conserver l'aire du grand carré, avec b = 5 dans la figure du haut, b devient 5,02dans la figure du bas.

Pour info, longueurs des diagonales:

D  ≈ 20,074

D' ≈ 20,022

 

Illustration de la différence

Cette fois on ne garde pas l'aire constante comme ci-dessus. Ce sont les douze pièces qui sont intégralement conservées.

Dessin avec Geogebra.

 

Figure du haut

On construit la figure du haut en premier.

Carré central avec a = 1 et quatre carrés qui l'entourent avec b = 5.

On prolonge un côté de carré d'une longueur égale à x exactement (formule avec la racine). Et cela quatre fois.

Les extrémités sont reliées pour former un quadrilatère.

C'est évidemment un carré (la valeur de x a été calculée pour cela)

 

 

 

Figure du bas

Cette figure est composée des mêmes pièces que celles du carré d'en-haut, rigoureusement.

Quatre carrés adjacents.

Report de la valeur exacte de x sur le côté d'un carré, et cela quatre fois.

Perpendiculaire en ces quatre points et point à une distance de 5.

Ces quatre points sont les sommets d'un quadrilatère.

Ce n'est pas un carré: un des angles dépasse 90°.

 

 

Voir Brève 889

 

 

 

 

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Sites

*      Quirinus, The Amazing Paradoxical Puzzle – Gianni A. Sarcone

 

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http://villemin.gerard.free.fr/Puzzle/LewisCar.htm