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22 Novembre 2025
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Édition du: 14/04/2026 |
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PAVAGE MONOTUILE APÉRIODIQUE David Smith est un mathématicien anglais amateur
de 64 ans. En 2023, il trouve le moyen de paver le plan avec une seule tuile
sans qu'aucun motif ne se répète (pavage apériodique). Non seulement il montre que cette tuile existe,
mais on en connait désormais un exemple.
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Sommaire de cette page >>> Le |
Débutants Glossaire |
Anglais: aperiodic tiling, an aperiodic monotile
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Pavage monotuile
apériodique: résolu |
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Problème Est-il possible de paver
parfaitement un plan d'un unique motif, de manière apériodique ? Sans trou et sans motifs
qui se répètent. Pavage périodique (ou régulier) Un carrelage classique
fait de carrés ou d'hexagones produit
un motif périodique, un dessin qui se répète. Dans le cas périodique,
une partie du pavage peut être découpée et elle pourra être superposée
parfaitement à une autre partie du pavage. Pavage apériodique L'illustration montre un
exemple de pavage apériodique trouvé par un passionné anglais David Smith. La non-périodicité a été
prouvée par des chercheurs à l'aide d'ordinateurs (assistants de preuve). |
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Pavage périodique et apériodique |
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Pavage périodique De façon intuitive, un
pavage consiste à diviser un plan en morceaux sans espaces ni chevauchements.
Les pavages périodiques
possèdent une symétrie dite de translation. Imaginez un damier
infini. Faites-le glisser d'une case
vers le haut, chaque pièce s'inscrira toujours exactement dans le motif du
damier. |
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Types de pavages
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Pavage apériodique résolu |
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Découverte Quatre chercheurs
viennent de résoudre un vieux problème mathématique: le problème ein stein ( Comment un plan peut-il
être recouvert par une seule tuile sans répétition de motif. Une copie du pavage
translatée ne trouvera jamais la possibilité d'une exacte superposition à
moins de revenir à la position initiale. C'est David Smith qui a
composé la tuile et Myers, Kaplan et
Goodman-Strauss qui ont procédé aux
vérifications. |
Tuile à 13 côtés en forme de chapeau
Pour paver le plan, il
faut utiliser cette tuile-chapeau à l'endroit ou à l'envers. |
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Construction de la tuile
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Historique
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1961 – Hao Wang invente
des tuiles particulières et conjecture que le pavage est forcément
périodique. 1964 – Robert Berger, un
de ses doctorants, infirme la conjecture en exhibant un ensemble de 20 426
tuiles différentes dont tous les pavages
possibles sont apériodiques. 1971 Raphael Robinson
descend à six tuiles. Rapidement ce nombre est
réduit à deux tuiles différentes. C'est Roger Penrose, dès 1970, qui propose
un ensemble de deux tuiles qui ne permet que des pavages apériodiques. 2010 – Une monotuile apériodique est proposée, mais elle est
composée de plusieurs morceaux déconnectés.
2023 – Smith et ses trois
collaborateurs proposent "un chapeau pour Einstein". |
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