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Édition du: 11/11/2021

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Brèves de Maths

 

INDEX

Triangles

Trigonométrie

Géométrie

Théorème de Pythagore – Extensions

Débutants

Nomenclature – Types de démonstrations

Applications

Approche

Pythagore en linéaire (triple quad)

Pythagore pour toute figure

Trigonométrie rationnelle

 

 

Formule du triple QUAD

Théorème de Pythagore en linéaire

 

Une singulière manière de voir le théorème de Pythagore sur une droite plutôt que sur un triangle. Notion implicite dans les travaux d'Archimède, mais pas mentionnée par Euclide.

Application à la trigonométrie rationnelle qui procurerait un accès plus naturel à de nombreux problèmes pratiques de géométrie selon l'expert du domaine: N.J. Wildberger

 

Formule du triple quad

  

 

Sommaire de cette page

>>> Approche – Pythagore sur des segments

>>> Formule du triple quad

>>> Théorie

>>> Formule du quadruple quad

 

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

Anglais: Triple quad formula

 

 

Approche – Pythagore sur des segments

haut

 

Construction

Trois carrés, dont deux qui s'appuient sur l'un des côtés du troisième.

 

Dans cet exemple,

*      un carré de côté 2 et aire 4

*      deux carrés de côté 1 et aire 1

 

On compare les deux sommes des aires en notant a, b et c les longueurs des côtés:

*     

*     

Ces deux sommes sont égales  chaque fois que a + b = c

 

 

 

 

Voir Brève 788

 

 

 

Formule du triple quad

haut

 

Pour démontrer la formule du triple quad, on introduit les coordonnées de trois points sur une droite.

La dimension de chaque carré (a, b ou c)  est alors la différence entre les coordonnées des sommets.

 

 

On compare le développement des deux expressions de part et d'autre de l'égalité.

 Le calcul est fastidieux.

 

 

  

 

 

Théorie

haut

 

Géométrie 1D

Cette propriété était connue de l'Antiquité. Aujourd'hui, elle fait partie d'un nouveau développement des mathématiques dans le domaine de la géométrie métrique de l'espace à une seule dimension.
(the metrical geometry of one dimensional space).

 

 

Quadrance entre deux points
Q1 = Q(x2, x3) = (x3 – x2
Q2 = Q(x1, x3) = (x3 – x1
Q3 = Q(x1, x2) = (x2 – x1

 

Formule du triple quad
(Q1 + Q2 + Q3)² = 2(Q1² + Q2² + Q3²)

 

 

Démonstration

 

 

 

Formule du quadruple quad

haut

 

 

 

Construction

Le grand carré est dupliqué, de même que les carrés plus petits mais avec des tailles différentes (même si cela marche avec la même taille, mais serait trivial).

 

Relation

 

{ (a² + b² + c² + d²)

– 2(a4 + b4 + c4 + d4) }2

= 64 a²b²c²d²

 

 

 

 

Haut de page

 

 

Retour

*      Théorème de Pythagore sur d'autres figures que le triangle

*      Généralisation du théorème de Pythagore – Al Kashi

Suite

*      Trigonométrie rationnelle

*      Théorème de PythagoreIndex, toutes les démos

*      Démonstrations historiques du théorème de Pythagore

Voir

*      Théorème de Pappus

*      TrigonométrieIndex

Sites

*      La trigonométrie de Wildberger – Wikipédia

*      One Dimensional Metrical Geometry – N.J. Wildberger – 2018

*      Divine proportions – Rational trigonomety to universal geometry – N.J. Wildberger – 2005 – pdf 321 pages

 

Voir liste des liens pour le théorème de Pythagore

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Pythagore/TripQuad.htm

 

 

Formes linéaires