Trouver des ensembles plus grands - ensemble des parties

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COMPTER DANS LES ENSEMBLES

Découpons un ensemble en morceaux et comptons les parties obtenues.

L'infini ne se cache pas loin! Où l'on arrive à créer un ensemble plus grand que n'importe quel ensemble imaginable.

En résumé

Soit un ensemble E de n éléments.

L'ensemble constitué des parties de E comporte 2ⁿéléments.

Exemple avec un ensemble de trois éléments

Le rond barré symbolise l'ensemble vide.

Les femmes sont capables de tout. Les hommes du reste.

Henri de Régnier

Voir Pensées & humour

APPROCHE – Deux éléments

Ensemble de 2 éléments

Combien y a-t-il de façons de choisir ces éléments par 2, par 1 … ?

Je cherche toutes les combinaisons réalisables avec les éléments de cet ensemble.

On parle de parties.

2 éléments

1 sous-ensemble

1 élément

2 sous-ensembles

0 élément

1 sous-ensemble

Total des possibilités de décomposition en parties

4 sous-ensembles

Deux remarques importantes:

Une coïncidence ou une règle générale ?
Un ensemble de deux éléments donne 4 sous-ensembles.

Attention à la marche!
La collection des quatre sous-ensembles forme un nouvel ensemble que l'on appelle l'ensemble des parties.

4 = 2²

APPROCHE – Trois éléments

Ensemble de 2 éléments

Combien y a-t-il de façons de choisir ces éléments par 3, par 2, par 1 … ?

Je cherche toutes les parties réalisables avec les éléments de cet ensemble.

3 éléments

1 sous-ensemble

2 éléments

3 sous-ensembles

1 élément

3 sous-ensembles

0 élément

1 sous-ensemble

Total des possibilités de décomposition en parties

8 sous-ensembles

Conclusion

On retrouve la puissance de deux:
Un ensemble de 3 éléments donne 8 sous-ensembles.

8 = 2³

ENSEMBLE & ENSEMBLE DES PARTIES

Ensemble

{ , , }

n éléments

Ensemble des parties

{(),

(),(),

(),(),( )}

2ⁿ éléments

Si un ensemble contient n éléments, l'ensemble de ses parties contient 2ⁿ éléments.

ENSEMBLE PLUS GRAND

Avez-vous déjà remarqué que

Quel que soit l'ensemble considéré, je sais créer un ensemble bien plus grand. Il suffit simplement de considérer l'ensemble de ses parties.

D'un ensemble de n éléments, on passe à un ensemble de 2ⁿ éléments

Avec ce type de construction

On se dirige tout droit vers l'infini !

Voir

Je sais créer un nombre différent

Je sais créer une nombre premier plus grand

Je sais créer plus de points que je ne peux en compter

LES INFINIS
*On se souvient que:* L'ensemble des nombres rationnels est infini et, sa taille est ₀ Mais, il y a des ensembles plus grands. Que l'on peut construire au moins de 2 manières:
Recherche des parties	Diagonale de Cantor
C'est la méthode que nous venons de voir ci-dessus avec les nombres rationnels.	C'est la manière que nous avons vu sur une autre page avec les nombres réels.
L'ensemble de ses parties est plus grand et, sa taille est:	L'ensemble des nombres réels forme une infinité d'un ordre plus grand et, sa taille est: ₁
On trouve effectivement deux nouveaux types d'infinis. Sont-ils différents ou identique ? Question qui a troublé les mathématiciens … Voir réponse en Dénombrable et continu