NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 02/03/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Puissance quatrième >>> Expression complexe d'une puissance quatrième >>> Derniers chiffres des puissances 4 >>> Somme de quatre puissances quatrièmes >>> Nombre en n^4 – 1 et n^4+ 1 >>> (n^4 + 4^n) est un nombre composé

NOMBRES en PUISSANCE 4

Bicarrés

Note: la dernière égalité est spécifique à la puissance 2 avec 2+2 = 2x2.

Anglais: fourth power, biquadratic number, tessaractic numbers

Puissance quatrième
Liste des 50 premières puissances quatrièmes produites par une simple instruction Maple.

Expression complexe d'une puissance quatrième et calcul de la racine quatrième

		Exemple de calcul (a + ia) (a + ia) (a + ia) (a + ia) = (a² + 2ia² – a²) (a² + 2ia² – a²) = (2ia²) (2ia²) = 4i² a^4 = –4a^4
Expression des quatre racines quatrièmes de nombres positifs et négatifs

Voir Racines / Formule de De Moivre

Derniers chiffres des puissances 4
Nombres de 1 à 50 ordonnés selon les deux derniers chiffres (dizaines-unités) de leur puissance quatrième.
Que deviennent les milliers, centaines, dizaines et unités (MCDU) de la puissance quatrième pour l'unité u de n ? u = 0 => MCDU = 0000 u = 5 => MCDU = 0625 u = (1, 3, 7, 9) => DU = (01, 21, 42, 61, 81) avec U = 1 et D un nombre pair. u = (2, 4, 6, 8) => DU = (16, 36, 56, 76, 96) avec U = 6 et D un nombre impair.

Somme de quatre puissances quatrièmes
Nombres < 100 somme de quatre bicarrés	Nombres < 1000 somme de quatre bicarrés distincts Théorème de Waring Tout nombre est somme d'au plus 19 bicarrés. Voir Développements sur sommes de puissances 4

Nombre en n^4 – 1 et n^4 + 1
Nombre n^4 – 1 pour n de 1 à 15 Identification des plus grands facteurs par ordre croissant: n, n^4 – 1, Fle plus grand 1, 0, 0 2, 15, 5 3, 80, 5 4, 255, 17 5, 624, 13 6, 1295, 37 (tous ces nombres 7, 2400, 5 sont composés) 8, 4095, 13 9, 6560, 41 10, 9999, 101 11, 14640, 61 12, 20735, 29 13, 28560, 17 14, 38415, 197 15, 50624, 113 Facteur le plus grand dans les nombres n^4 – 1 pour n de 1 à 100; liste jusqu'à 100: 0, 5, 13, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 53, 61, 67, 71, 73, 89, 97. Rappel: n^4 – 1 = (n – 1) (n + 1) (n² + 1)	Nombre n^4 + 1 pour n de 1 à 15 Identification des plus grands facteurs par ordre croissant: n, n^4 1, Fle plus grand 1, 2, 2 Premier 2, 17, 17 Premier 3, 82, 41 4, 257, 257 Premier 5, 626, 313 6, 1297, 1297 Premier 7, 2402, 1201 8, 4097, 241 9, 6562, 193 10, 10001, 137 (le plus petit pour n > 4) 11, 14642, 7321 12, 20737, 233 13, 28562, 14281 14, 38417, 937 15, 50626, 1489 Facteur le plus grand dans les nombres n^4 + 1 pour n de 1 à 100; liste jusqu'à 1000: 2, 17, 41, 137, 193, 233, 241, 257, 313, 521, 601, 673, 809, 929, 937.

Puissance 4 et nombres retournés

Puissance quatrième avec nombres ajoutés à leur retourné. Les seuls cas possibles, semble-t-il.

2^4 = 16 = 8 + 8 5^4 = 625 = 164 + 461 = 263 + 362 11^4 = 14 641 = 10 340 + 4 301 = 11 330 + 3 311 = 12 320 + 2 321 = 13 310 + 1 331 = 14 300 + 341

Voir Nombre 5 / Nombre 11

(n^4 + 4^n) est un nombre composé (N = n⁴ + 4ⁿ)

Pour s'exercer

Ce nombre est composé:	N = x^4 + 4y^4
Identité de Sophie Germain	x^4 + 4y^4 = (x^2 + 2y^2)^2 − (2xy)^2 = (x^2 + 2xy + 2y^2) (x^2 − 2xy + 2y^2)

Pour N = n⁴ + 4ⁿ

Le tableau montre les premières valeurs de cette expression et leur factorisation. Tous sont composés avec des facteurs divers. Certes avec souvent 2 ou 5.

Mais, notez le cas de n = 5 avec 1649 = 17 x 97.

Dans ces conditions est-il possible de démontrer que ce nombre est toujours composé.

La première méthode souvent rencontrée sur Internet fait appel au petit théorème de Fermat en oubliant les cas d'exclusions.

La seconde méthode consiste à trouver une somme de carrés et à la factoriser (identités remarquables).

n, N, facteurs

Voir Même démonstration

Suite	Caractérisation des bicarrés Nombres bicarrés = sigma . phi Développements sur sommes de puissances 4 Bicarrés – Diviseurs Équation du quatrième degré Table des puissances de 2 à 9
Voir	Exposants à étages Motifs en a^b . b^a. Nombres produits de nombres consécutifs portés à la même puissance Puissance – Index Puissances – Table de valeurs Puissances de 2 Puissances de 2 à 5 Puissances et chiffres permutés
DicoNombre	Nombre 625
Sites	Fourth power – Wikipedia OEIS A00583 – Fourth powers: a(n) = n^4 Diophantine Equation--4th Powers – Mathworld – Eric Weisstein Sum of Fourth Powers – Tito Piezas Sums of four or more Fourth Powers – Tito Piezas Fourth roots calculator – CalculatorSoup Autres sites
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/PUISSANC/Puissan4.htm