NOMBRES - NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/02/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Les nombres premiers sont les atomes mêmes de l'arithmétique. Ce sont les nombres indivisibles, qu'il est impossible de décomposer sous la forme d'une multiplication de deux nombres plus petits. 13 et 17 sont des premiers, ce qui n'est pas le cas de 15, que l'on peut également écrire en tant que 3 fois 5. Ils sont les pierres précieuses enchâssées dans l'immense étendue de l'univers infini des nombres, que les mathématiciens explorent depuis des siècles. Ils sont pour eux une source d'émerveillement : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... nombres hors du temps qui existent dans un monde indépendant de notre réalité physique. Pour le mathématicien, ils sont un don de la Nature.

Marcus du Sautoy

Voir Pensées & humour / Citations de mathématiciens

NOMBRES PREMIERS – Historique

Connus depuis l'Antiquité.

Objets de nombreuses recherches.

Course au nombre premier le plus grand.

Utilisation des ordinateurs, et la course aux records se poursuit de plus belle.

"Premiers" nombres premiers – En bref

Os d'Ishango

Les plus anciennes traces des nombres premiers ont été trouvées près du lac Édouard au Zaïre (Congo), non loin des sources du Nil. Il s'agit d'un os de plus de 20 000 ans, appelé l'os d'Ishango, découvert en 1950.

Cet os qualifié de «plus vieil objet mathématiques de l'humanité», exposé au Muséum des sciences naturelles de Bruxelles, est recouvert d'entailles représentant les nombres 11, 13, 17 et 19 (avec beaucoup d'imagination !). Ces nombres sont premiers : est-ce un hasard ou l'ébauche d'une table de nombres premiers ? La question reste ouverte.

Voir Nombre 60

Les Grecs

Le grec Pythagore (-580 à -490) fonde l’école Pythagoricienne qui va durer environ 10 générations. Ces passionnés par l'Arithmétique étudient la notion de diviseur et découvrent les nombres parfaits.

Sans lui donner ce nom, les nombres premiers devaient donc être connus par Pythagore et ses adeptes.

Dans les écrits de Philolaos (env. -470 à -390), les nombres premiers sont cités comme une classe particulière de nombres.

La première allusion concrète aux nombres premiers est faite par Aristote (-384 à -322) dans un passage de ses Seconds analytiques. Dans la Métaphysique, il distingue le composé et l'incomposé et "l'incomposé vient avant le composé".

Savants arabes

Le grand savant arabe, Ibn al-HAYTHAM ou ALHAZEN (né à Bassora en Irak actuelle en 965, mort au Caire en 1039) établit que :

Si p est un nombre premier alors n = (p – 1)! + 1 est divisible par p.

Cette propriété est connue sous le nom de théorème de Wilson.

Exemple avec p = 7:

6! = 720, et 721 / 7 = 103.

Soit le tableau:

p = 2	n = 2	n / p = 1
3	3	1
5	25	5
7	721	103
11	3628801	329891

Voir Brève de Maths 551

Historique

Chinois Ils formulent une hypothèse. Pour tout premier p : 2^p - 2 est divisible par p. Grecs Les mathématiciens grecs connaissaient bien les nombres premiers. L'école de Pythagore (500 à 300 av. J.-C.) prêtait un rôle mystique aux nombres. Ses membres s'intéressaient aux nombres premiers, parfaits et amiables. Euclide, vers 300 av. J.-C. , publie " les Éléments "avec du nouveau sur les nombres premiers: Ils sont en nombre infini. La démonstration est la première preuve par l'absurde de l'histoire . Il prouve le théorème fondamental de l'arithmétique: tout nombre est le produit unique de facteurs premiers (sauf à changer l'ordre des facteurs). Il montre que si 2^n - 1 est premier alors 2^n-1 ( 2^n - 1) est parfait. Euler (1747) montre que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme. Ératosthène, vers 200 av. J.-C., invente son crible qui permet de trouver les nombres premiers: pour chaque nombre tête de liste, on barre tous ses multiples.

Ensuite …

Plus rien pendant longtemps: la période noire !

Cataldi

En 1588, Pietro Cataldi donne les nombres premiers suivants :

M₁₇ = 2¹⁷ – 1 = 131 071 (M pour Mersenne)

M₁₉ = 2¹⁹ – 1 = 524 287

M_{23, 29, 31 et 37} , selon lui, sont aussi premiers, ce qui n'est pas complètement exact!

Mersenne (1588-1648)

Ce moine français, Marin Mersenne, s'intéresse aux nombres de la forme 2ⁿ – 1 qui sont souvent premiers.

Fermat (1601-1665)

Au début du XVIIe siècle, Fermat prouve que:

Tout nombre premier de la forme 4n + 1 est la somme unique de deux carrés (une intuition d'Albert Girard).

Exemple: n = 3 alors 4n + 1 = 13 = 9 + 4 = 3² + 2²

Tout nombre est la somme de 4 carrés, au plus.

Si p est premier alors a ^p = a modulo p.

Il invente une méthode de factorisation des nombres composés.

Exemple: 2 027 651 281 = 44 021 x 46 061

Il correspond avec le moine Mersenne (nombres de la forme 2ⁿ – 1) alors que Fermat s'intéresse à ceux de la forme 2^{2^n} + 1.

En 1640, Fermat montre que si p est un nombre premier impair, alors tous diviseurs premiers de 2^p – 1 sont de la forme 2kp + 1.
Il montre rapidement que Cataldi se trompe pour 23 (qui a un facteur avec k = 1) et pour 37 (facteur avec k = 3).
2³⁷ – 1 = 223 x 616 318 177 avec 223 = 2 x 3 x 37 + 1.
616 318 177 est le plus grand premier connu de cette époque.

Goldbach (1690-1764))

En 1742, il propose sa conjecture à Euler:

Tout nombre entier pair est somme de deux premiers.

Au début des années 1700, on connaissait tous les premiers jusqu'à 100 000 grâce à un mathématicien amoureux des nombres: John Pell.

Vers 1800, on les connaissait jusqu'à un million. Vers 1850, Jacok Kulik eut l'ambition d'aller jusqu'à 100 millions. Un certain Hildenburg utilisait des réglettes pour simuler le crible; d'autres des pochoirs.

Kulik (vers 1850)

Nombreux sont ceux qui ont traqué le nombre premier tel l'Autrichien Kulik qui y consacra 20 ans de sa vie pour décomposer tous les nombres en facteurs premiers jusqu'à 100 millions.

Date (tous les calculs faits à la main)	Tous les premiers connus jusqu'à:
1746	100 000
1797	400 000
1811	1 000 000
1863	100 000 000

Euler (1707-1783)

C'est seulement 100 ans plus tard qu'Euler montre que :

2³² + 1 = 4 294 967 297 = 641 x 6 700 417

2ⁿ – 1 est toujours composé si n n'est pas premier (facile a montrer); Ce sont les nombres de Mersenne (M_n), lequel les étudia en détail.  

Mais tous les 2ⁿ – 1 avec n premier ne sont pas premier! Le premier fut trouvé en 1536 : 2¹¹ – 1 = 2 047 = 23 x 89.
Pendant de nombreuses années, et c'est encore le cas aujourd'hui, les nombres de Mersenne fournirent les nombres premiers les plus grands connus.

En 1738, Euler montre que Cataldi se trompe pour 29 en trouvant 233 comme diviseur. Il suffisait de prendre le résultat de Fermat pour k = 4, ce qui laisse penser que Fermat aussi connaissait ce résultat. Euler prouve aussi que Cataldi a vu juste pour 31.Ce sera le plus grand nombre premier durant 200 ans.

Euler donne le fameux nombre (2³¹ – 1) comme premier, puis doute dans un courrier d'octobre 1753 à Goldbach. En 1772, son courrier à Bernoulli est publié : 2³¹ – 1 est bien premier. Il le prouve car tous les diviseurs premiers de 2³¹ – 1 doivent être de la forme 248n + 1 ou 248n + 63. En divisant par tous les premiers de cette forme, inférieurs à 46 339, on vérifie qu'il est bien premier.

Euler avait donné 2³¹ – 1 premier dès 1732, mais aussi 2⁴¹ – 1 et 2⁴⁷ – 1 qui tous deux ne le sont pas!

Bilan

Euler a fortement contribué à l'étude des nombres premiers: 

Calcule M₃₁ = 2³¹ – 1 = 2 147 483 647 et montre qu'il est premier.

Factorise 2³² + 1, etc.

Il étend le petit théorème de Fermat.

Il introduit la fonction Phi (n), donnant la quantité de nombres qui sont premiers avec n, et inférieur à n.

NB : ne pas confondre avec Pi (x)

Il trouve 60 paires de nombres amiables.

Il montre que la série harmonique est divergente, et aussi la série équivalente avec les nombres premier.

Série harmonique	Équivalent avec les nombres premiers
1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... = Croît comme log (n). Il faut 10^434 termes pour atteindre la somme de 1 000.	1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +... = Croît comme log (log (n)). La suite de tous les premiers connus donne seulement 4.

Peter Barlow (en 1811)

Dans son livre " la théorie des nombres ", il dit que 2³⁰ (2³¹-1) est le plus grand nombre parfait qui ne sera jamais découvert. En effet, ces nombres sont de simples curiosités inutiles, et il est probable que personne ne cherchera à en chercher d'autres plus grands.

Landry (en 1867)

Il trouve le plus grand nombre premier, en essayant par divisions. Il s'agit d'un des facteurs divisant 2⁵⁹ – 1.

Il s'agit du nombre 3 203 431 780 337 = (2⁵⁹ – 1) / 179 951.

Ce nombre détient le record du premier non - Mersenne le plus grand, trouvé sans ordinateur.

Lucas (1842-1891)

En 1876, Lucas développe un test astucieux pour savoir si un Mersenne est premier. La méthode sera simplifiée par Lehmer vers 1930, et elle est toujours utilisée.

La séquence S(n) est calculée modulo 2^p – 1 pour gagner du temps. Cette formule est idéale en binaire car la division par 2^p – 1 (en binaire) est effectuée par simples rotations et additions.

Il montre que M₁₂₇ (10³⁹) est premier.

Il sera le détenteur du record du plus grand nombre premier avant l'utilisation des ordinateurs et découverte d'un nouveau record en 1951.

BILAN des records "à la main"
Nombre	Chiffres	Année	Par	Méthode
2^17– 1	6	1588	Cataldi	Essais par division
2^19– 1	6	1588	Cataldi	Essais par division
(2^37– 1) / 223		1640	Fermat	Essais par division
2^31– 1	10	1772	Euler	Essais par division
(2^59– 1) / 179 951	13	1867	Landry	Essais par division
2^127– 1	39	1876	Lucas	Test de Lucas
(2^148+ 1) / 17	44	1951	Ferrier	Théorème de Proth

Ferrier (en 1951)

Il utilise un calculateur de bureau et la technique basée sur les inverses partiels du petit théorème de Fermat.
Il améliore le record à 44 chiffres avec: (2¹⁴⁸+1) / 17 = 20988936657440586486151264256610222593863921.

La même année, on trouve un premier de 79 chiffres, mais avec un ordinateur.

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Livre	L'ÉQUATION DE DIEU – Igor et Grichka Bogdanov – Grasset – 2019 – Bernhard Riemann avait découvert en 1859 une mystérieuse formule qui, selon ses propres mots, "indiquait le chemin qui mène vers Dieu". Cette page est citée dans ce livre page 214.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/historiq.htm