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Édition du: 25/09/2021

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Types de nombres

 

 

Nombres Premiers – Quantité

Quantité

Fonction Pi (n)

Théorème des NP

Historique de Pi (n)

Tables Pi (n)

Intervalle minimum

Quantité de jumeaux

Premiers de Ramanujan

NP: Nombres premiers

 

 

Quantité de NOMBRES PREMIERS

 

Il y plus de 2 000 ans, Euclide  prouva qu'il y a

une infinité de nombres premiers.

 

Alors, deux types de questions viennent à l'esprit :

1.   Combien y a-t-il de premiers inférieurs à un nombre donné x ?

2.   Une infinité de premiers, mais quelle sorte d'infinité ?  >>>

Explorons la première question.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Les nombres premiers jusqu'à 100

>>> Les nombres premiers à trois chiffres

>>> Quelques propriétés

>>> Ce que nous allons développer

>>> Exemple de quantités de nombres premiers

>>> Programmation

>>> English corner

 

Débutants

Nombres premiers

 

Glossaire

Nombres permiers

 

 

 

Les nombres premiers jusqu'à 100

haut

 

 

 

Il y a vingt-cinq nombres premiers jusqu'à 100.

 

 

Observations sur les unités

Le nombre 2 est le seul premier pair:

*        il est le seul à être terminé par 2.

*        il n'y a pas de premiers terminés par 4, 6, 8 ou 0.

Le nombre 5 est le seul à être divisible par 5.

*        il est le seul à être terminé par 5.

Le nombre 3 est le seul à être divisible par 3.

*        il y en a bien d'autres premiers terminés par 3.

 

On rappelle que 1 est un nombre à part.

*        ce n'est pas un nombre premier.

*        il y a de nombreux nombres premiers terminés par 1.

 

Bilan sur les unités

Les nombres premiers sont tous terminés par 1, 3, 7 ou 9 à l'exception des nombres 2 et 5.

 

Voir Crible d Ératosthène

Grille en spirale d'Ulam

 

 

2

5

 

 

3

7

 

11

13

17

19

 

23

 

29

31

 

37

 

41

43

47

 

 

53

 

59

61

 

67

 

71

73

 

79

 

83

89

 

 

97

 

 

En jaune, les nombres premiers jumeaux

Voir Barre magique des premiers

 

 

Les nombres premiers à trois chiffres

haut

 

Quantité de nombres premiers par centaines

 

Centaines

Qté

min

max

1

21

101

199

2

16

211

293

3

16

307

397

4

17

401

499

5

14

503

599

6

16

601

691

7

14

701

797

8

15

809

887

9

14

907

997

  

 

Les 143 nombres premiers à trois chiffres

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

 

Centaines ayant de moins en moins de nombres premiers

[numéro, quantité de premiers]

 

[0, 25], [1, 21], [2, 16], [5, 14], [11, 12], [13, 11], [21, 10], [41, 9], [48, 8], [59, 7], [186, 6], [188, 5], [314, 4], [588, 3], [1559, 1], [16718, 0]

 

Centaines comportant plus de 15 nombres premiers: [numéro, quantité de premiers]

 

[1, 21], [2, 16], [3, 16], [4, 17], [6, 16], [10, 16], [14, 17], [42, 16], [58, 16], [194, 16], [230, 16], [7837, 17]

 

 

Voir Nombre 143

 

 

 

Quelques propriétés

haut

 

 

Il y a une infinité de nombres premiers.

Démontré

 

Il y a une infinité de nombres premiers jumeaux.

Conjecture

 

Cette propriété semble d'autant plus vraie que l'on a trouvé des premiers jumeaux titanesques (102 259), débusqués par les supercalculateurs.

 

Exemples de nombres premiers jumeaux

 

         3 –   5

         5 –   7 

       11 – 13

     107 – 109

37 811 – 37 813

99 131 – 99 133

99 137 – 99 139.

 

Suite en Jumeaux

 

Ce que nous allons développer

haut

Comment caractériser la quantité de nombres premiers?

Fonction Pi de n:  >>>

Quelles sont les propriétés de cette fonction: répartition des nombres premiers, comportement à l'infini?

 

Théorème des nombres premiers >>>

Comment approcher la démonstration concernant l'infinité de nombres premiers jumeaux?

Étude de l'intervalle minimum entre premiers >>>

 

 

Exemple de quantités de nombres premiers

haut

Quantité (Q) jusqu'à 10n pour n de 1 à 10

4, 25, 168, 1229, 9592, 78498, 664579, 5761455, 50847534, 455052511,

 

Quantité (R) de 10n jusqu'à 10n+1

21, 143, 1061, 8363, 68906, 586081, 5096876, 45086079, 404204977

 

Exemples: il y a 25 nombres premiers jusqu' à 100 et 21 de 10 à 100; autrement-dit: 21 premiers à deux chiffres.

Voir Table plus complète

 

 

 

Programmation Maple

haut

 

Avec la fonction Pi(n)

 

But

Trouver la quantité de nombres premiers à k chiffres pour k de 1 à 5.

 

Commentaires

Réinitialisation et appel du logiciel de théorie des nombres.

Établissement s'une suite de nombres (seq) donnant la valeur de pi(n) pour les puissances de 10 successives.

La seconde séquence comptabilise la quantité de nombres premiers ayant k chiffres.

  

 

Sans la fonction Pi(n)

But

Trouver la quantité de nombres premiers pour les centaines de 1 à 9 (de 100 à 999)

 

Commentaires

Déclaration d'un compteur-totalisateur ktt.  La liste L contiendra la quantité cherchée.

Une boucle pour les centaines avec un compteur par centaines remis à 0.

Une boucle pour les nombres dans la centaine.

Pour chaque nombre n, on incrément les compteurs s'il est premier (isprime).

En fin de centaine, ajout de la quantité de premiers dans la liste L.

Impression de kkt, le total et de L la liste des quantités par centaines.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

English corner

haut

Prime counting function: if x is a positive number, then the prime counting function, denoted , count the number of primes p, such that .

 

For example, since the primes up to 10 are 2, 3, 5, 7, we have , 

 

 

Haut de page

 

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*      Représentation des nombres

Table

*      Par centaines jusqu'à 1000 /

*      Pi de n jusqu'à 10 000

*      Premiers inférieurs à   1 000

*      Premiers inférieurs à 10 000

*      Recherche du plus grand nombre premier connu

*      Table des nombres premiers du ième rang

*      TablesIndex

*      Tables sur les quantités de premiers

Sites

*      La page des nombres premiers
de Chris Caldwell – La référence du domaine

*      How many primes are there ? – Chris Caldwell

*      OEIS A006880 – Number of primes < 10^n

*      OEIS A006988 – a(n) = (10^n)-th prime.

*      OEIS A006879 – Number of primes with n digits

*      N. J. A. Sloane, Table of n, prime(n) for n = 1..10000

*      N. J. A. Sloane, Table of n, prime(n) for n = 1..100000

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/quantite.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Renvois de liens suite à la refonte de ces pages

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*      Dénombrement & Table pi (n) 

*      Le théorème des nombres premiers: valeur de pi (n)

*      Méthode de recherche des nombres premiers

*      Analyse des unités et dizaines des  premiers jusqu'à 1 000

*      Quantité de nombres premiers - Historique

*      Somme de nombres premiers

*      Intervalle minimum

 

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>>> Dénombrement: table des valeurs de pi (n)

>>> Méthode de recherche

>>> Historique

>>> Analyse des unités et dizaines