NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/10/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Valeur de racine de 2 >>> Fraction continue >>> Réduites >>> Racine de racine >>> Développements >>> Séries >>> Formule itérative >>> Carré et triangulaire >>> Racines énièmes de 2 – Table

Valeur en bref

Valeur facilement mémorisable pour les quatre premières décimales: = 1, 41 42 …	Une fraction proche de racine de 2: = 1, 4142 135 … 99 / 70 = 1, 4142 857…
Cent premières décimales 1, 4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 … Depuis juin 2016, ce nombre est connu avec 10 000 milliards de décimales (Ron Watkins).

Voir Explication du motif 11 14 21 35 dans racine de 2

Nombres coussins

Deux constantes remarquables, qui nous offrent des analogies:

Chacune est composée d'une succession de deux chiffres 41/42 et 14/15;

Elles n'utilisent que les chiffres de 1 à 5;

Coïncidence de 1414 et 1415.

VALEURS exacte et approchées de racine de 2

= 1, 41 42 13 …		Irrationnel. Diagonale du carré de côté 1.
		Tamoul – Antiquité indienne
		Babyloniens
7 / 5 = 1,4		Pythagore.
99 / 70 = 1,4142 8		à 72 10^-6
239 / 169 = 1,414201183…
= 1,414 215 5		Babyloniens. On ne sait pas comment les Mésopotamiens sont parvenus à ce résultat.
		Réduite.
		Inde: Védas (vers 700 av. J.-C.)
		Suite.
= longueur / largeur du rectangle		Base du format A4.
= 0,707 106 = sin 45° = cos 45°	Trigonométrie.
	Vérification en multipliant par le conjugué du dénominateur.
	Vérification en multipliant par le conjugué du dénominateur.

Racines à étages

FRACTIONS CONTINUES de racine de 2
Approximation par une fraction à étage ou fractions continues. Due à Bombelli (1572)
Notation concise	2 = [1; 2, 2, 2 …]
Autre valeurs	2 = [1; 2, 2, 2 …] 2 = 1/2 × [3; -1, 6; -1, 6; -1, 6; …] 2 = 1/12 × [17; -1, 34; -1, 34, -1, 34; …] 2 = 1/70 × [90; -1, 180; -1, 180, -1, 180; …]

Voir Application à la résolution de l'énigme du numéro de la villa

RÉDUITES – Fractions proches de racine de 2

Réduites successives de racine de 2. Suite de ce tableau >>> Observez la formation de chacune des fractions: Les numérateurs et dénominateurs constituent une fameuse suite d'équations de Pell. La suite des nombres au dénominateur est appelée séquence de Pell. FORMULES ITÉRATIVES donnant les mêmes fractions (réduites) Formule qui converge vers la valeur de √ 2: Xn+1 = (Xn + 2) / (Xn + 1) Autre écriture: Xn+1 = (a + 2b) / (a + b) avec Xn = a/b Propriétés On décompose le numérateur en somme de 2 nombres consécutifs Pour 41/29, on observe 41 = 20 + 21 et 20² + 21² = 29² En fait: N² – 2D² = 1 Voir Pell Réduites avec Pell-Lucas Suite de Pell-Lucas {1, 3, 7, 17, 41, 99, 239 …} en PLn = 2 x PLn-1 + PLn-2 Le rapport entre deux nombres successifs converge vers le nombre d'argent: 1 + . D'une manière générale, la suite de Pell-Lucas offre de meilleures réduites pour racine de 2.

RACINES & PUISSANCES de racine de 2

Voir Tables

DÉVELOPPEMENTS typiques de racine de 2

Les identités (2) et (3) sont identiques, l'une étant le développement de l'autre. Voir explications en Identités en k Ces formules sont très lentement convergentes vers racine de 2. Avec 1000 facteurs, on trouve 1,4143 pour la première formule et 1,4141 pour les deux suivantes. Avec 10 000, on n'a que quatre décimales: 1,41422 et 1,41420 pour 1,414213… Avec 100 000, on ne gagne qu'une seule décimale: 1,414214 et 1,414212

SÉRIES de racine de 2

Formule convergente vers 1 avec racine de 2

Voir Nombres de Fibonacci et formule de Binet

Formule convergente vers 1 avec racine de 2

À la fois carré et triangulaire
Nombre à la fois CARRÉ et TRIANGULAIRE. On s'intéresse à leurs diviseurs. Ils sont deux. Quelle est la valeur de la fraction du plus grand sur le plus petit ?

Racine de 2 – Table

Tableau des racines énièmes de 2 pour n de 2 à 20

avec 30 chiffres significatifs

Voir Calcul des racines avec calculette / Tables de valeurs numériques

Suite	Calcul Racine de 2 – Spectre
Retour	Racine Racine carrée Développement de Taylor
Voir	Imaginaires Constantes Pi Nombre d'Or
Diconombre	Nombre 2 Racine de 2
Livre	Le Fabuleux destin de racine carrée de 2 – Benoît Rittaud – 2006
Site	Mathematical Constants - Billions of Digits de Alexander J. Yee
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Rac2Val.htm