NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 10/12/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Débutants Nombres	RACINE de 2 √2 = 1, 41 42 …			Glossaire Nombres
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		Sommaire de cette page >>> Racines carrées irrationnelles – Démonstrations >>> Racines carrées pour tous les entiers >>> Généralisation – Racine kième de n >>> Somme de nombres irrationnels >>> Anglais

RACINE de DEUX est un nombre IRRATIONNEL
On disait incommensurable car il n'y a pas d'unité qui puisse mesurer à la fois 1 et 2. Aucune fraction de nombres entiers ne peut l'exprimer exactement. C'est un nombre dont les décimales sont infinies et non prédictibles sauf par calcul.	Comment démontrer que racine de deux est irrationnel? Démonstration par l'absurde: P et Q devraient être pairs à la fois …

Irrationnels qui produisent du rationnel !

Voir Racines à étages

Historique

Pythagore (–570 à –490) savait que est irrationnel >>>

Theodore de Cyrène (–465 à –398) a prouvé que la racine carrée des nombres de 3 à 17 est irrationnelle, sauf pour 4, 9 et 16.

IRRATIONNEL – Démonstration par l’ABSURDE
Raisonnons par l'absurde et supposons	rationnel
Étant rationnel, on peut l'écrire sous forme d'une fraction	= P/Q
On réduit la fraction au maximum	= M/N
M et N n'ont pas de diviseurs en commun	M et N premiers entre eux
Élevons au carré	2 = M² /N²
Ou	M² = 2 N²
Avec ce facteur 2, on déduit que	M² est pair
Or, un nombre élevé au carré, garde sa parité et réciproquement	M est pair
Écrivons que M est pair	M = 2K
On revient à l'expression au carré	M² = 2 N² = (2 K)² = 4 K²
Ou, en divisant par deux de chaque côté	N² = 2 K²
Même raisonnement sur la parité avec N	N est pair et N = 2 J
Alors M et N ont un facteur commun	2 est facteur commun à M et N
La contradiction montre que l'hypothèse est	Fausse au départ
Et que	est irrationnel

IRRATIONNEL – Démonstration ARITHMÉTIQUE
Raisonnons par l'absurde et supposons	rationnel
Fraction réduite au maximum
Cette fraction portée au carré Elle est irréductible
Seules possibilités Cf. Fraction irréductible	M² = 2 N² = 1
Or aucun nombre entier au carré ne donne 2	M² 2
Contradiction	est irrationnel

IRRATIONNEL – Démonstration par inégalités
Raisonnons par l’absurde et supposons	rationnel
Fraction réduite au maximum
Ce nombre est un entier	avec N le plus petit possible
Inégalités
Multiplication par racine de 2
Selon notre hypothèse ce nombre est un entier	est un entier, avec r plus petit que n
Rappel pour N	est un entier, avec n le plus petit
Contradiction	est irrationnel

IRRATIONNEL – Démonstration par fractions
Exprimons la racine de 2 sous cette forme
Ou plus généralement, si rationnel
Inégalités
Dénominateur de racine de 2 < q qui montre que q n’est pas la valeur minimale		est irrationnel
Formulation qui est propice à une représentation géométrique avec un triangle isocèle rectangle de côté p et q puis un triangle homothétique de côté 2q – p et p – q. On amorce alors une descente infinie de Fermat en poursuivant la construction sans fin en répétant le procédé.
Autre illustration de la descente infinie avec des rectangles. Premier rectangle : Deuxième rectangle : Même proportion longueur sur largeur: En reconduisant le procédé, nous nous trouvons face à une nouvelle descente infinie.

IRRATIONNEL – Démonstration suite de Héron
Formule de Héron Voir la formule	Tous les termes de cette suite sont rationnels alors qu'elle converge vers une limite irrationnelle.
Limite de la suite	En effet:

IRRATIONNEL – Démonstration avec p-adique
x² = 2 n'a pas de solution en p-adiques. Or les nombres les rationnels sont un sous-ensemble des p-adiques. Alors x² = 2 n'a pas non plus de solution en nombres rationnels. Une preuve rapide que racine de 2 est irrationnel.	Preuve en prenant la valuation de chaque côté de l'égalité.

Généralisation

IRRATIONNEL – Racine carrée de TOUS LES ENTIERS
La démonstration est un peu longue, car menée pas à pas. Pour mieux apprécier et soulager l'effort d'abstraction, une indication numérique est donnée à droite.

PREMIÈRE ÉTAPE: hypothèse conduisant à une équation caractéristique et unique
Soit N un entier non carré	N entier²	N = 1000 (exemple) √1000 = 31,622…
Si la racine de N est rationnelle, il existe une fraction Telle que p et q n'ont pas de diviseurs communs Ce qui veut dire que cette forme réduite de la fraction est unique	= p/q p = q .	√N ≈ 95/3 = 31,66… Une approximation évidemment. On ne peut pas simplifier davantage la fraction.
Nous aurons besoin de la valeur de p. Notons-la tout de suite	p = q.	95 ≈ 3 x 31, 622 = 94, 866
Au carré	p² = q².N	95² = 9025 ≈ 3² x 1000 = 9000
Et mis en équation Cette forme étant unique selon notre hypothèse, Nous allons montrer qu'il existe deux autres nombres conduisant à une seconde expression de ce genre. Ce qui sera contraire à notre hypothèse. La contradiction permettra de conclure que cette hypothèse est fausse	p² – N.q² = 0	95² - 1000 x 3² = 25 ≈ 0 Toujours en approximation

DEUXIÈME ÉTAPE: introduction du nombre juste inférieur à la racine carrée
Il existe un nombre n tel que	n < –𝐍	31 < 31,622

TROISIÈME ÉTAPE: choix de deux nouveaux nombres, en utilisant la différence entre la racine et son entier inférieur
Choix des deux nombres qui vont soulever la contradiction. Nous allons passer dans le monde des écarts entre la racine de N et le nombre n juste inférieur.
Premier nombre	p'
Écrivons la valeur de N en produit de fractions Et remplaçons p/q par une valeur plus petite, n	N = (p/q) (p/q) N > (n) (p/q)	1000 ≈ (95/3)(95/3) 1000 > 31 (95/3) = 981,6
En multipliant par q	N.q > n.p	1000 x 3 >31 x 95 3000 > 2945
Notre premier nombre sera la différence positive issue de cette inégalité	p' = N.q – n.p	3000 – 2945 = 55
Deuxième nombre	q'
Évaluons l'excès positif entre la racine et le nombre entier inférieur	– n > 0	31,622 – 31 = 0, 622
Ou en remplaçant racine de N par sa valeur supposée rationnelle	p/q – n > 0	95 / 3 – 31 = 0, 666
En multipliant par q	p – n.q > 0	95 – 31 x 3 = 2
Notre deuxième nombre sera cette différence	q' = p – n.q
Bilan: nos deux nombres sont là	p' = N.q - n.p q' = p – n.q	55 2

QUATRIÈME ÉTAPE: utilisation des deux nouveaux nombres pour soulever une contradiction qui montre que l'hypothèse de départ est erronée
Revenons à l'expression avec les carrés On se souvient que cette expression est unique du fait de notre hypothèse: p/q est irréductible	p² – Nq² = 0
Calculons la même chose avec nos deux nouveaux nombres: p' et q'	p'² – Nq'² = ?
En remplaçant par les valeurs Et en procédant au calcul	(N.q – n.p)² – N (p – n.q)² = N²q² – 2Nnpq +n²p² – N(p² – 2npq + n²q²) = N²q² + n²p² – Np² – Nn²q² = N (Nq² – p²) +n² (p² – Nq²) = (n² – N) (p² – Nq²)
Bilan	p'² – Nq'² = (n² – N) (p² – Nq²)
Mais le deuxième terme est nul. L'expression complète est nulle	p'² – Nq'² = 0
L'expression n'est pas unique Ce qui contredit notre hypothèse	La racine carrée d'un nombre non carré parfait est un nombre irrationnel.

Généralisation – Racine kième de n

Racine carrée Pour tout n appartenant à l’ensemble des nombres entiers (Z^+ = N = {1, 2, 3 …}), la racine carrée de n est rationnelles que si, et seulement si, n est un carré parfait N². Racine kième K est un nombre entier supérieur à 2. Alors, la racine kième de n est irrationnelle, sauf si n est une puissance parfaire, n = N^k. La racine énième d’un nombre entier positif, si elle n’est pas un entier, elle est un nombre irrationnel. Racine évidente d’un polynôme (Rational Roots Theorem) Ce théorème se démontre à partir des résultats cités ci-dessus. Si an et a0 sont des entiers non nuls, et si une fraction irréductible p/q est racine du polynôme, alors p divise a0 et q divise an. Voir Suite et exemples

Somme de nombres irrationnels

Sommes d'irrationnels
Nous savons que est irrationnel. C'est le cas aussi pour .

En revanche, = 2; cette somme de deux irrationnels est rationnelle. Les sommes sont donc à analyser au cas par cas.

Qu'en est-il de ?

Démonstration par contradiction: on suppose n rationnel.

D'un côté de l'égalité, on a un irrationnel et de l'autre un rationnel

Contradiction ! La somme n est irrationnelle.

Pour information

Voir DicoNombre 1, 41 / DicoNombre 1,73 / DicoNombre 5,59

Voir Brève 48-947

English corner

How do we know that square root of 2 is an irrational number?  In other words, how do we know that √2 wouldn't have a pattern in the decimal sequence?   Maybe the pattern is very well hidden and is really long, billions of digits?   Even if you check it till million first digits, maybe the pattern is just longer than you were able to print the digits out with your computer? Here is where mathematical proof comes in.   The proof that √2  is indeed irrational isn't that difficult to follow. It relies on a proof by contradiction. Demonstration Let's suppose √2 were a rational number.   Then we can write it √2  = a/b where a, b are whole numbers. We additionally make it so that this a/b is simplified to the lowest terms. It follows that 2 = a^2/b^2, or a^2 = 2 * b^2.   So the square of a is an even number. From this we can know that a itself is also an even number: a = 2k. If we substitute a = 2k into the original equation: 4k² = 2b² => b² = 2k². This means b^2 is even, and b itself is an even number: b = 2h Now it turns out that a and b are both even. So √2 = 2k/2h cannot be rational.

Voir Anglais – Le bagage minimum

Suite	Racine de 2 en géométrie Démonstration par les nombres congruents
Voir	Nombre irrationnels Constantes Imaginaires Pi Nombre d'Or
DicoNombre	Racine de 2 Racine de 3
Site	Nombre irrationnel – Wikipédia Some irrational numbers – Pete L. Clark – Démonstration pour la racine carrée et la racine kième de n. An introduction to irrationality and transcendence methods – Michel Waldschmidt
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Rac2Irra.htm