collection de nombres - palindrome numérique à retard ou à retournement

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 01/02/2023 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Nombres de Lychrel

PALINDROMES à RETARD

PALINDROME à RETOURNEMENT

Algorithme 196

Palindrome retard: palindrome issu d'Itérations sur un nombre quelconque. Chaque itération produit la somme du nombre et de son retourné

Nombres de Lychrel: nombre sans palindrome retard. Le plus petit est 196. Lychrel = anagramme de Cheryln petite amie de Wade Van Landingham qui a calculé de nombreux tels nombres (10⁷).

Exemple: comment 5 678 devient palindrome en deux itérations

Anglais: 196-Algorithm (Wolfram) / Lychrel number / a reverse-then-add sequence

APPROCHE

Procédé

Prendre un nombre et son inversé (on dit aussi retourné).

Faire la somme des deux.

Prendre la somme et son inversée.

Les ajouter.

Recommencer jusqu'à trouver un Palindrome.

La probabilité est grande que vous formiez un palindrome plus ou moins rapidement.

Exemples

12 + 21 = 33

123 + 321 = 444

456 + 654 = 1110; 1110 + 0111 = 1221

Notation

Selon la quantité d'itération nous donnerons un indice pour baptiser le palindrome:

P₀ Palindrome naturel.

P₁ Palindrome obtenu avec une itération.

P_n Palindrome obtenu avec n itérations.

Exemples
N départ	Opérations			Ordre
121				0 =>	P0
423	423	+ 324	= 747	1 =>	P1
4782	4782 7656 14223	+ 2874 + 6567 + 32241	= 7656 = 14223 = 46464	1 2 3 =>	P3
87	87 165 726 1353	+ 78 + 561 + 627 + 3531	= 165 = 726 = 1353 = 4884	1 2 3 4 =>	P4
1284	1284 6105 11121	4821 5016 12111	= 6105 = 11121 = 23232

Condition pour obtenir un palindrome en une seule fois
Un palindrome sera obtenu du premier coup, si la somme n'engendre pas de retenue.		12 + 21 = 33 Bon 67 + 76 = 143 Mauvais
La condition est la suivante: La somme de chaque couple de chiffres symétriques doit être inférieure à 10. Dans le cas d'une quantité impaire de chiffres, le chiffre central doit être inférieur à 5.
Exemples	Bon 45 + 54 = 99 142 + 241 = 383 1278 + 8721 = 9999		Mauvais 19 + 91 = 110 57 + 75 = 132 152 + 251 = 403 149 + 941 = 1 090 1279 + 9721 = 11 000 11522 + 22511 = 34 033
Nécessaire pas suffisante	Il existe des cas qui donnent un palindrome du premier coup malgré cette règle. les retenues se compensent ou se propagent librement du fait de la présence d'un 0. La somme palindromique est constituée de 0, 1 et 2.
2 et 3 chiffres 29 + 92 = 121 38 + 83 = 121 47 + 74 = 121 56 + 65 = 121 209 + 902 = 1111 308 + 803 = 1111 407 + 704 = 1111 506 + 605 = 1111	4 chiffres		5 chiffres
6 chiffres

Palindromes retard pour les nombres à 2 chiffres

Lecture

Sur la ligne du haut les palindromes d'arrivée ;

En dessous, tous les nombres de départ possibles.

Exemples (bleu foncé)

10 donne 11 en une seule fois car 10 + 01 = 11.

29 donne 121 en 1 fois et,
19 donne aussi 121, mais en 2 fois.

Table

11	22	33	44	55	66	77	88	99	121	363	484	1111	4884	44044	>10⁹
10		12	13	14	15	16	17	18						1 FOIS
	20	21		23	24	25	26	27	29
		30	31	32		34	35	36	38
			40	41	42	43		45	47
				50	51	52	53	54	56
					60	61	62	63	65
						70	71	72	74
							80	81	83
								90	92
									19					2 FOIS
									28
									37	39
									46	48	49
										57	58
									64		67
									73	75	76
									82	84	85
									91	93	94
												59		3 FOIS
												68
												86
												95
													69	4 FOIS
													78
													87
													96
										6 FOIS				79
														97
															89
										>15 FOIS					98

Cas de 121

De nombreux nombres donnent 121 en palindrome retard:

121₁ :	29	38	47	56	65	74	83	92
121₂:	19	28	37	46	64	73	82	91

Curiosité avec les chiffres qui se suivent:

121	1211	12₃ 1	12₄ 1	12₅ 1	12₆ 1	12₇ 1
56	457	4567	34 567	345 678	2 345 678	23 456 789

Explication

56 donne 121 en palindrome retard

457 donne 1211 (exception)

4567 donne 12221 = 12₃1

Etc.

Cas de 89 – Grand nombre d'itérations

Départ avec 89 et résultats des itérations successives (lire de gauche à droite):

89 187 968 1837

9218 17347 91718 173437

907808 1716517 8872688 17735476

85189247 159487405 664272356 1317544822

3602001953 7193004016 13297007933 47267087164

93445163438 176881317877 955594506548 1801200002107

8813200023188

Palindrome de 13 chiffres obtenu en 25 étapes.

Curiosité: 89 est le 24^e nombre premier, soit le 25^e en y incluant exceptionnellement le nombre 1. Quant à 13, il apparait curieusement dans le décompte des nombres premiers.

Merci à David H.

CAS GÉNÉRAL – Toujours une solution?

Est-ce que tous les nombres aboutissent à un palindrome ?
Voici quelques statistiques sur les nombres à 3 chiffres:

735 sont palindromes en moins de 5 opérations;

6 ont plus d'un million de chiffres, 50 000 opérations et toujours pas de palindromes avec eux

Ce sont les nombres de Lychrel:
196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986, 1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857, 1945, 1947, 1997, 2494, 2496, 2584, 2586, 2674, 2676, 2764, 2766, 2854, 2856, 2944, 2946, 2996, 3493, 3495, 3583, 3585, 3673, 3675.

En rouge, ceux qui ne trouve pas de chemin déjà connu.

Pour 196, dix millions d'itérations donnent un nombre de 4 millions de chiffres, mais toujours non palindrome.

Cette liste exclu les nombre palindrome au départ, comme 9 999 dont on ne connait pas d'issue palindromique

En binaire, Roland Sprague a prouvé que certains nombres non pas de palindrome à retard.

Exemple: 10110 (22 en décimal) ne donne jamais un palindrome.

En base 4, on trouve également des séquences infinies.

Exemple: 255 en décimal.

PANNUMÉRIQUE – Amusement

n	*P_r*	n	*P_r*
12	33
123	444	23	55
1234	55555	234	666
12345	666666	2345	7777
123456	7777777	23456	88888
1234567	88888888	234567	999999
12345678	999999999	2345678	12222221

Voir Pannumériques

Programmation
		Commentaire Ce programme teste un nombre avec le procédé de palindrome retard et s'arrête dès qu'il trouve un palindrome. Exemple avec 87. L'exploration est limitée à 20 itérations. On imprime le retourné r et le nouveau nombre n. Conversion de n pour disposer d'une liste de chiffres. en N. Indicateur T à 1, supposant que le nombre est palindrome. Test des chiffres symétriques; si différent le nombre n'est pas palindrome et T = 0. En fin de test, si le nombre n'est pas palindrome on poursuit sinon on arrête (break). Pour poursuivre, on forme le nombre décimal retourné r et on donne à n la valeur de la somme de l'ancien n et du retourné r. Résultat en bleu.
Quelque exemples

Voir Programmation – Index / Nombre 196 / Nombre 790

TABLES

Plus petit palindrome retard de k itérations

Exemple: Le nombre n = 187 est le plus petit nombre pour obtenir un palindrome (p) en k = 23 itérations.

k	n	p
1	10	11
2	19	121
3	59	1111
4	69	4884
5	166	45254
6	79	44044
7	188	233332
8	193	233332
9	1397	88555588

k	n	p
10	829	8855588
11	167	8855588
12	2069	52788725
13	1797	8836886388
14	849	8836886388
15	177	8836886388
16	1496	5233333325
17	739	5233333325
18	1798	89540004598
19	10777	16967744776961

k	n	p
20	6999	16668488486661
21	1297	8813200023188
22	869	8813200023188
23	187	8813200023188
24	89	8813200023188
25	10797	1676404554046761
26	10853	4455597447955544
27	10921	4455597447955544
28	10971	8802202552022088
29	13297	893974888888479398
30	10548	17858768886785871

Le tableau présente les nombres avec k de 30 à 100 qui existent pour n inférieurs à 100 000.

k	n	p
31	13293	17858768886785871
32	17793	44035358885353044
33	20889	44035358885353044
37	80359	6839849878998789489386
38	13697	6839849878998789489386
39	10794	6832123695335963212386
40	15891	6832123695335963212386
47	70759	14525756544499444565752541
52	70269	4668731596684224866951378664
53	10677	4668731596684224866951378664
54	10833	4668731596684224866951378664
55	10911	4668731596684224866951378664

Quantité k d'itérations pour les nombres de 1 à 500

Les nombres avec k = 0 ou k = 1 ne sont pas mentionnés. Il reste 259 nombres.

En rouge, nombres de Lychrel (itérations sans fin connue).

[19, 2], [28, 2], [37, 2], [39, 2], [46, 2], [48, 2], [49, 2], [57, 2], [58, 2], [59, 3], [64, 2], [67, 2], [68, 3], [69, 4], [73, 2], [75, 2], [76, 2], [78, 4], [79, 6], [82, 2], [84, 2], [85, 2], [86, 3], [87, 4], [89, 24], [91, 2], [93, 2], [94, 2], [95, 3], [96, 4], [97, 6], [98, 24], [109, 2], [119, 2], [129, 2], [139, 2], [149, 2], [150, 2], [152, 2], [153, 2], [154, 2], [155, 3], [156, 3], [157, 3], [158, 3], [159, 2], [160, 2], [162, 2], [163, 2], [164, 3], [165, 3], [166, 5], [167, 11], [168, 3], [169, 2], [170, 2], [172, 2], [173, 2], [174, 4], [175, 4], [176, 5], [177, 15], [178, 3], [179, 2], [180, 3], [182, 6], [183, 4], [184, 3], [185, 3], [186, 3], [187, 23], [188, 7], [189, 2], [190, 7], [192, 4], [193, 8], [194, 3], [195, 4], [196, non], [197, 7], [198, 5], [199, 3], [208, 2], [218, 2], [219, 2], [228, 2], [229, 2], [238, 2], [239, 2], [248, 2], [249, 3], [250, 2], [251, 2], [253, 2], [254, 3], [255, 3], [256, 3], [257, 3], [258, 2], [259, 2], [260, 2], [261, 2], [263, 3], [264, 3], [265, 5], [266, 11], [267, 3], [268, 2], [269, 2], [270, 2], [271, 2], [273, 4], [274, 4], [275, 5], [276, 15], [277, 3], [278, 2], [279, 2], [280, 4], [281, 6], [283, 3], [284, 3], [285, 3], [286, 23], [287, 7], [288, 2], [289, 2], [290, 4], [291, 4], [293, 3], [294, 4], [295, non], [296, 7], [297, 5], [298, 3], [299, 3], [307, 2], [309, 2], [317, 2], [318, 2], [319, 2], [327, 2], [328, 2], [329, 2], [337, 2], [338, 2], [339, 2], [347, 2], [348, 3], [349, 3], [350, 2], [351, 2], [352, 2], [354, 3], [355, 3], [356, 3], [357, 2], [358, 2], [359, 2], [360, 2], [361, 2], [362, 3], [364, 5], [365, 11], [366, 3], [367, 2], [368, 2], [369, 2], [370, 2], [371, 2], [372, 4], [374, 5], [375, 15], [376, 3], [377, 2], [378, 2], [379, 2], [380, 6], [381, 4], [382, 3], [384, 3], [385, 23], [386, 7], [387, 2], [388, 2], [389, 3], [390, 4], [391, 8], [392, 3], [394, non], [395, 7], [396, 5], [397, 3], [398, 3], [399, 3], [406, 2], [408, 2], [409, 2], [416, 2], [417, 2], [418, 2], [419, 2], [426, 2], [427, 2], [428, 2], [429, 2], [436, 2], [437, 2], [438, 2], [439, 3], [446, 2], [447, 3], [448, 3], [449, 3], [450, 2], [451, 2], [452, 3], [453, 3], [455, 3], [456, 2], [457, 2], [458, 2], [459, 2], [460, 2], [461, 3], [462, 3], [463, 5], [465, 3], [466, 2], [467, 2], [468, 2], [469, 2], [470, 2], [471, 4], [472, 4], [473, 5], [475, 3], [476, 2], [477, 2], [478, 2], [479, 2], [480, 4], [481, 3], [482, 3], [483, 3], [485, 7], [486, 2], [487, 2], [488, 3], [489, 3], [490, 8], [491, 3], [492, 4], [493, non], [495, 5], [496, 3], [497, 3], [498, 3], [499, 3]

Suite	Palindrome produit Palindrome retard – Programmation
Voir	Retournement magique Procédé de Kaprekar Récurrence
Aussi	Multiplication Calcul mental – Index
DicoNombre	Nombre 121 Nombre 196
Site	Pour dossier complet sur les palindromes: Voir site exhaustif de Patrick De Geest OEIS A023108 - Positive integers which apparently never result in a palindrome under repeated applications OEIS A063048 - Numbers n such that the Reverse and Add trajectory of n (presumably) does not reach a palindrome and does not join the trajectory of any term m < n. OEIS A088753 – Idem, incluant les palindromes Lychrel numbers – Wolfram MathWorld
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/PalRetar.htm