collection de nombres, palindrome et division

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 25/11/2021 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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NOMBRES PALINDROMES

& Divisibilité

PALINDROMES & DIVISION PAR 11
Divisibilité par 11 Un nombre est divisible par 11 si la somme des chiffres de rang *pair* est égale à la somme des chiffres de rang *impair.* Palindrome Tous les palindromes à nombre pair de chiffres sont divisibles par 11. A fortiori Tous les repdigits à nombre pair de chiffres sont divisibles par 11. Démonstration	Exemple pour 5 chiffres (abcde) = 0 (mod 11) si a + c + e = b + d Exemple pour 4 et 6 chiffres Abba => a + b = b + a Abccba => a + b + c = c + b + a 88 = 11 x 8 4554 = 11 x 414 789987 = 11 x 71817 98766789 = 11 x 8 978 799 Suite en Table 2222 = 11 x 202 999999 = 11 x 90909
Un palindrome pair est la somme de multiples de et, avec un calcul de modulo ce qui signifie que =>	10^2k+1 + 1 10^2k+1 + 1 = (-1)^2k+1 + 1 (mod 11) = -1 + 1 (mod 11) = 0 (mod 11) 10^2k+1 + 1 est divisible par 11

Voir Pannumériques divisibles par 11

PALINDROMES & DIVISION PAR 9
Trouver les nombres palindromes divisibles par 9.	Divisibilité par 9 – Rappel La somme des chiffres est divisible par 9.
Avec 2 chiffres Une seule possibilité.	N = aa a + a = 9k 2a = 9k => k = 2 a = 9 N = 99 99 = 11 x 9

Avec 3chiffres

L'exploration montre qu'il y a 10 nombres palindromes de 3 chiffres divisibles par 9.

N = aba a + b + a = 9k

2a + b = 9k

b = 9k – 2a

Si k = 1 b = 9 – 2a

N = 171 (a, b) = (1, 7)

N = 252 (a, b) = (2, 5)

N = 333 (a, b) = (3, 3)

N = 414 (a, b) = (4, 1)

Si k = 2 b = 18 – 2a

N = 585 (a, b) = (5, 8)

N = 666 (a, b) = (6, 6)

N = 747 (a, b) = (7, 4)

N = 828 (a, b) = (8, 2)

N = 909 (a, b) = (9, 0)

Si k = 3 b = 27 – 2a

N = 999 (a, b) = (9, 9)

Avec 4 chiffres

De nouveau 10 nombres palindromes de 4 chiffres divisibles par 9.

N = abba a + b + b + a = 9k

N = abba 2a + 2b = 9k
b = ½ (9k – 2a)

k est pair pour que b soit divisible par 2

(a + b)_MAX = 18 => k_MAX = 4

Avec k pair => k = (2, 4)

Si k = 2 b = (9 – a)

N = 1881 (a, b) = (1, 8)

N = 2772 (a, b) = (2, 7)

N = 3663 (a, b) = (3, 6)

N = 4554 (a, b) = (4, 5)

N = 5445 (a, b) = (5, 4)

N = 6336 (a, b) = (6, 3)

N = 7227 (a, b) = (7, 2)

N = 8118 (a, b) = (8, 1)

N = 9009 (a, b) = (9, 0)

Si k = 4 b = (18 – a)

N = 9999 (a, b) = (9, 9)

Avec 5 chiffres

100 nombres palindromes de 5 chiffres divisibles par 9.
En rose, nombres avec forme particulière.

10701 20502 30303 40104 50805 60606 70407 80208 90009

11511 21312 31113 41814 51615 61416 71217 81018 90909

12321 22122 32823 42624 52425 62226 72027 81918 91719

13131 23832 33633 43434 53235 63036 72927 82728 92529

14841 24642 34443 44244 54045 63936 73737 83538 93339

15651 25452 35253 45054 54945 64746 74547 84348 94149

16461 26262 36063 45954 55755 65556 75357 85158 95859

17271 27072 36963 46764 56565 66366 76167 86868 96669

18081 27972 37773 47574 57375 67176 77877 87678 97479

18981 28782 38583 48384 58185 68886 78687 88488 98289

19791 29592 39393 49194 59895 69696 79497 89298 99099

99999

PALINDROMES & DIVISION PAR 7

Table des nombres palindromes divisible par 7; en tête de colonne la quantité.

1 12 18 131

77 161 1001 10101 20202 30303 40404 50505 60606 70007 80108 90209

252 1771 10801 20902 31213 41314 51415 61516 70707 80808 90909

343 2002 11011 21112 31913 42224 52325 62426 71617 81018 91119

434 2772 11711 21812 32123 42924 53235 63336 72527 81718 91819

525 3003 12621 22022 32823 43134 53935 64246 73437 82628 92029

595 3773 13531 22722 33033 43834 54145 64946 74347 83538 92729

616 4004 14441 23632 33733 44044 54845 65156 75257 84448 93639

686 4774 15351 24542 34643 44744 55055 65856 75957 85358 94549

707 5005 16261 25452 35553 45654 55755 66066 76167 86268 95459

777 5775 16961 26362 36463 46564 56665 66766 76867 86968 96369

868 6006 17171 27272 37373 47474 57575 67676 77077 87178 97279

959 6776 17871 27972 38283 48384 58485 68586 77777 87878 97979

7007 18081 28182 38983 49294 59395 69496 78687 88088 98189

7777 18781 28882 39193 49994 79597 88788 98889

8008 19691 29092 39893 89698 99099

8778 29792 99799

9009

9779

PALINDROMES & DIVISION PAR 13

Table des nombres palindromes divisible par 13.

6 9 69

494 1001 10101 30303 50505 70707 90909

585 2002 11011 31213 51415 71617 91819

676 3003 15951 32123 52325 72527 92729

767 4004 16861 33033 53235 73437 93639

858 5005 17771 37973 54145 74347 94549

949 6006 18681 38883 55055 75257 95459

7007 19591 39793 59995 76167 96369

8008 20202 40404 60606 77077 97279

9009 21112 41314 61516 80808 98189

22022 42224 62426 81718 99099

26962 43134 63336 82628

27872 44044 64246 83538

28782 48984 65156 84448

29692 49894 66066 85358

86268

87178

88088

Plus petit PALINDROMES divisible par k

Exemple de lecture: le plus petit palindrome divisible par 12 est 252, nombre que l'on retrouve souvent dans le tableau. Pas étonnant, ses diviseurs sont: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252.

11, 22, 2

12, 252, 21

13, 494, 38

14, 252, 18

15, 525, 35

16, 272, 17

17, 272, 16

18, 252, 14

19, 171, 9

21, 252, 12

22, 44, 2

23, 161, 7

24, 696, 29

25, 525, 21

26, 494, 19

27, 999, 37

28, 252, 9

29, 232, 8

31, 434, 14

32, 2112, 66

33, 66, 2

34, 272, 8

35, 525, 15

36, 252, 7

37, 111, 3

38, 494, 13

39, 585, 15

41, 656, 16

42, 252, 6

43, 989, 23

44, 88, 2

45, 585, 13

46, 414, 9

47, 141, 3

48, 2112, 44

49, 343, 7

51, 969, 19

52, 676, 13

53, 212, 4

54, 27972, 518

55, 5005, 91

56, 616, 11

57, 171, 3

58, 232, 4

59, 767, 13

61, 26962, 442

62, 434, 7

63, 252, 4

64, 2112, 33

65, 585, 9

66, 858, 13

67, 737, 11

68, 272, 4

69, 414, 6

71, 59995, 845

72, 6336, 88

73, 292, 4

74, 222, 3

75, 525, 7

76, 21812, 287

77, 616, 8

78, 858, 11

79, 474, 6

82, 656, 8

83, 747, 9

84, 252, 3

85, 595, 7

86, 28982, 337

87, 696, 8

88, 616, 7

89, 979, 11

91, 1001, 11

92, 828, 9

93, 5115, 55

94, 282, 3

95, 5225, 55

96, 2112, 22

97, 5335, 55

98, 686, 7

99, 1881, 19

Palindromes divisible par 27: Ceux avec quantité paire de chiffrés (ab..ba) ne sont pas divisible par 9 donc pas par 27. En effet, la somme des chiffres est paire: 2 (a + b + ...)

Ceux en abcba sont tels que la somme des chiffres vaut un multiple de 27:

999, 18981, 19791, 27972, 28782, 29592, 36963, 37773, 38583, 39393, 45954, 46764, 47574, 48384, 49194, 54945, 55755, 56565, 57375, 58185, 63936, 64746, 65556, 66366, 67176, 72927, 73737, 74547, 75357, 76167, 81918, 82728, 83538, 84348, 85158, 90909, 91719, 92529, 93339, 94149, 999999, 1089801, 1097901, …

9966699, 9974799, 9982899, 9990999 …

Palindrome les plus divisibles (records)

252 est un palindrome ayant 18 diviseurs; 2 112 en a 28.

11, 2

22, 4

44, 6

66, 8

252, 18

2112, 28

2772, 36

6336, 42

27972, 48

48384, 72

219912, 96

252252, 108

696696, 128

828828, 144

2114112, 168

4228224, 192

Suite	Palindromes – Table des divisible par 11 Palindromes – Dates
Voir	Diviseurs Divisibilité Multiplication Divisibilité par 11
DicoNombre	Nombre 11 Nombre 999 Nombre 2112
Site	Pour dossier complet sur les palindromes: Voir site de Patrick De Geest
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/PalDivis.htm